Номер 78, страница 136 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 18. Тепловые двигатели. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 78, страница 136.

Условие.

O-78. КПД цикла 1-2-3 (см. рисунок) равен $\eta_1$, а КПД цикла 1-3-4 равен $\eta_2$. Найдите КПД $\eta$ цикла 1-2-3-4.

☑ $\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$

Решение. В цикле 1-2-3-4 рабочее тело получает тепло на этапах 1-2 и 2-3, а отдает на этапах 3-4 и 4 ($\left|Q_{341}\right| = Q_{143}$). Формулы для КПД циклов имеют вид $\eta_1 = (Q_{123} - Q_{13})/Q_{123}$, $\eta_2 = (Q_{13} - Q_{143})/Q_{13}$, и $\eta = (Q_{123} - Q_{143})/Q_{123}$.

Из первых двух формул находим $Q_{123} = Q_{13}/(1 - \eta_1)$, и $Q_{143} = (1 - \eta_2) \cdot Q_{13}$.

Следовательно, $\eta = 1 - (1 - \eta_1)(1 - \eta_2) = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2$.

Решение.

Дано:

КПД цикла 1-2-3-1 равен $ \eta_1 $.
КПД цикла 1-3-4-1 равен $ \eta_2 $.

Найти:

КПД цикла 1-2-3-4-1 — $ \eta $.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение совершенной работы $A$ к количеству теплоты $Q_{нагр}$, полученному от нагревателя: $ \eta = \frac{A}{Q_{нагр}} $. Поскольку работа за цикл равна разности полученной и отданной теплоты ($ A = Q_{нагр} - |Q_{хол}| $), формулу можно переписать как $ \eta = 1 - \frac{|Q_{хол}|}{Q_{нагр}} $, где $ |Q_{хол}| $ — это количество теплоты, отданное холодильнику.

Рассмотрим каждый цикл в отдельности, используя обозначения, принятые в условии задачи, где $Q_{abc}$ — суммарное количество теплоты в процессе a-b-c.

Для цикла 1-2-3-1 с КПД $ \eta_1 $, тепло подводится на участках 1-2 и 2-3 (обозначим это количество $ Q_{123} $), а отводится на участке 3-1. Модуль отданного тепла обозначим как $ Q_{13} $ (тепло, которое было бы получено в процессе 1-3). Тогда:

$ \eta_1 = \frac{Q_{123} - Q_{13}}{Q_{123}} = 1 - \frac{Q_{13}}{Q_{123}} $

Для цикла 1-3-4-1 с КПД $ \eta_2 $, тепло подводится на участке 1-3 (количество $ Q_{13} $), а отводится на участках 3-4 и 4-1. Модуль суммарного отданного тепла обозначим как $ Q_{143} $. Тогда:

$ \eta_2 = \frac{Q_{13} - Q_{143}}{Q_{13}} = 1 - \frac{Q_{143}}{Q_{13}} $

Для искомого составного цикла 1-2-3-4-1 с КПД $ \eta $, тепло подводится на участках 1-2 и 2-3 (количество $ Q_{123} $), а отводится на участках 3-4 и 4-1 (количество $ Q_{143} $). Следовательно, его КПД равен:

$ \eta = \frac{Q_{123} - Q_{143}}{Q_{123}} = 1 - \frac{Q_{143}}{Q_{123}} $

Чтобы выразить $ \eta $ через $ \eta_1 $ и $ \eta_2 $, выразим $ Q_{123} $ и $ Q_{143} $ из первых двух уравнений.

Из уравнения для $ \eta_1 $ получаем:

$ \frac{Q_{13}}{Q_{123}} = 1 - \eta_1 \implies Q_{123} = \frac{Q_{13}}{1 - \eta_1} $

Из уравнения для $ \eta_2 $ получаем:

$ \frac{Q_{143}}{Q_{13}} = 1 - \eta_2 \implies Q_{143} = Q_{13} (1 - \eta_2) $

Теперь подставим полученные выражения в формулу для $ \eta $:

$ \eta = 1 - \frac{Q_{143}}{Q_{123}} = 1 - \frac{Q_{13} (1 - \eta_2)}{\frac{Q_{13}}{1 - \eta_1}} $

После сокращения $ Q_{13} $ получаем:

$ \eta = 1 - (1 - \eta_1)(1 - \eta_2) $

Раскроем скобки в полученном выражении:

$ \eta = 1 - (1 \cdot 1 - 1 \cdot \eta_2 - \eta_1 \cdot 1 + \eta_1 \cdot \eta_2) = 1 - (1 - \eta_1 - \eta_2 + \eta_1 \eta_2) $

$ \eta = 1 - 1 + \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2 = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2 $

Ответ: $ \eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2 $.