Номер 17.10, страница 130 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 17.10, страница 130.

Условие.

17.10. Газ находится в вертикальном цилиндре с площадью дна $S = 10 \text{ см}^2$. Цилиндр закрыт перемещающимся без трения поршнем массой $m = 9,8 \text{ кг}$. Начальный объем газа $V_0 = 5,0 \text{ л}$, температура $t_0 = 0 \text{ °С}$. Давление наружного воздуха $p_a = 100 \text{ кПа}$. Какое количество теплоты $\text{Q}$ необходимо передать газу при этих условиях для нагревания на $\Delta T = 10 \text{ К}$? Известно, что повышение температуры газа на ту же величину при закрепленном поршне потребовало бы количества теплоты, равного $Q_1 = 90 \text{ Дж}$.

☑ $Q = Q_1 + \frac{(mg + p_aS)V_0\Delta T}{ST_0} = 126 \text{ Дж}$.

Решение. Очевидно, при закрепленном поршне газ не совершает работы и потому $Q_1 = \Delta U$. В случае, когда поршень не закреплен, газ расширяется изобарно. При этом изменение его внутренней энергии такое же: ведь внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Работа газа при расширении $A' = p\Delta V$, так что $Q = \Delta U + A' = Q_1 + p\Delta V$.

Учтем также, что $p = \frac{mg}{S} + p_a$ и $\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\Delta T}{T_0}$ (так как при изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре газа). Тогда $Q = Q_1 + \frac{(mg + p_aS)V_0\Delta T}{ST_0} = 126 \text{ (Дж)}$.

Решение.

Дано:

Площадь дна цилиндра $S = 10 \, см^2 = 10 \cdot 10^{-4} \, м^2 = 10^{-3} \, м^2$

Масса поршня $m = 9,8 \, кг$

Начальный объем газа $V_0 = 5,0 \, л = 5,0 \cdot 10^{-3} \, м^3$

Начальная температура $t_0 = 0 \, °C$, что соответствует абсолютной температуре $T_0 = 273 \, К$

Давление наружного воздуха $p_a = 100 \, кПа = 100 \cdot 10^3 \, Па = 10^5 \, Па$

Нагревание газа на $\Delta T = 10 \, К$

Количество теплоты при закрепленном поршне $Q_1 = 90 \, Дж$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, м/с^2$

Найти:

$Q$ - количество теплоты, необходимое для нагревания газа при незакрепленном поршне.

Решение:

Разобьем решение на два случая, описанных в задаче.

1. Нагревание при закрепленном поршне (изохорный процесс).

Когда поршень закреплен, объем газа не меняется ($V = const$). В этом случае газ не совершает работы ($A_1 = 0$). Согласно первому закону термодинамики, все подводимое тепло $Q_1$ идет на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$:

$Q_1 = \Delta U + A_1 = \Delta U + 0$

Следовательно, изменение внутренней энергии газа равно:

$\Delta U = Q_1 = 90 \, Дж$

Важно отметить, что для идеального газа изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры. Так как в обоих рассматриваемых случаях газ нагревается на одну и ту же величину $\Delta T = 10 \, К$, то и изменение его внутренней энергии будет одинаковым.

2. Нагревание при незакрепленном поршне (изобарный процесс).

Когда поршень может свободно перемещаться, он находится в равновесии под действием силы давления газа изнутри, силы атмосферного давления и силы тяжести. Давление газа $p$ при этом постоянно, так как уравновешивающие его силы не меняются. Процесс является изобарным ($p = const$).

Условие равновесия поршня:

$pS = p_a S + mg$

Отсюда давление газа под поршнем:

$p = p_a + \frac{mg}{S}$

При изобарном нагревании, согласно первому закону термодинамики, подводимое тепло $Q$ расходуется на изменение внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A'$ по расширению (поднятию поршня):

$Q = \Delta U + A'$

Как мы установили ранее, $\Delta U = Q_1$. Работа газа при изобарном процессе вычисляется по формуле $A' = p \Delta V$, где $\Delta V$ - изменение объема газа. Таким образом:

$Q = Q_1 + p \Delta V$

Для изобарного процесса из закона Гей-Люссака ($\frac{V}{T} = const$) следует соотношение:

$\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\Delta T}{T_0}$

Отсюда изменение объема равно:

$\Delta V = V_0 \frac{\Delta T}{T_0}$

Подставим выражения для $p$ и $\Delta V$ в формулу для $Q$:

$Q = Q_1 + (p_a + \frac{mg}{S}) \cdot V_0 \frac{\Delta T}{T_0}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю, чтобы получить формулу, аналогичную приведенной в условии:

$Q = Q_1 + \frac{(p_a S + mg) V_0 \Delta T}{S T_0}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$Q = 90 + \frac{((10^5 \cdot 10^{-3}) + (9,8 \cdot 9,8)) \cdot 5,0 \cdot 10^{-3} \cdot 10}{10^{-3} \cdot 273}$

$Q = 90 + \frac{(100 + 96,04) \cdot 5,0 \cdot 10^{-2}}{10^{-3} \cdot 273} = 90 + \frac{196,04 \cdot 50}{273}$

$Q = 90 + \frac{9802}{273} \approx 90 + 35,9$

$Q \approx 125,9 \, Дж$

Округляя результат, получаем 126 Дж.

Ответ: $Q \approx 126 \, Дж$.