Номер 73, страница 130 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 73, страница 130.

Условие.

O-73. Какое количество теплоты получает одноатомный газ при нагревании в ходе процесса, изображенного на рисунке? Получает или отдает тепло газ при охлаждении? Чему равно это количество теплоты?

☑ $1,25p_0V_0$; при охлаждении газ получает количество теплоты, равное $0,25p_0V_0$.

Решение. Согласно полученному в задаче 16.13 результату газ нагревается на участке 1-3 и охлаждается на участке 3-2 (см. рисунок; точка 3 — середина отрезка 1-2). На обоих этапах газ совершает работу, численно равную площади соответствующей трапеции: $A'_{1-3} = 0,875p_0V_0$, $A'_{3-2} = 0,625p_0V_0$. Поскольку внутренняя энергия одноатомного газа $U = 3\nu RT/2 = 3pV/2$, находим $\Delta U_{1-3} = 3(p_3V_3 - p_1V_1)/2 = 3p_0V_0/8$. Аналогично находим $\Delta U_{3-2} = -3p_0V_0/8$. Применяя к процессам нагревания и охлаждения первый закон термодинамики, получаем $Q_{1-3} = 1,25p_0V_0$ и $Q_{3-2} = 0,25p_0V_0$. Как видим, в данном случае газ получает тепло при понижении его температуры.

Решение.

Дано:

Процесс 1-2 для одноатомного газа.

Параметры начального состояния 1: $p_1 = 2p_0$, $V_1 = V_0$.

Параметры конечного состояния 2: $p_2 = p_0$, $V_2 = 2V_0$.

Найти:

$Q_{нагр}$ - количество теплоты, полученное газом при нагревании.

$Q_{охл}$ - количество теплоты, полученное или отданное газом при охлаждении.

Решение:

Для того чтобы определить участки нагревания и охлаждения, необходимо проанализировать изменение температуры газа в ходе процесса. Согласно уравнению состояния идеального газа $pV = \nu RT$, температура $T$ пропорциональна произведению $pV$. Найдем точку на графике, где это произведение максимально.

Процесс 1-2 описывается прямой линией на $p-V$ диаграмме. Запишем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1} = \frac{p_0 - 2p_0}{2V_0 - V_0} = -\frac{p_0}{V_0}$

Уравнение прямой можно записать как $p - p_1 = k(V - V_1)$:$p - 2p_0 = -\frac{p_0}{V_0}(V - V_0)$$p(V) = -\frac{p_0}{V_0}V + p_0 + 2p_0 = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V$

Температура пропорциональна функции $f(V) = p(V) \cdot V$:$f(V) = (3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V)V = 3p_0V - \frac{p_0}{V_0}V^2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее максимум находится в вершине. Найдем его, приравняв производную $f'(V)$ к нулю:$f'(V) = 3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V = 0$$2\frac{p_0}{V_0}V = 3p_0 \implies V_3 = \frac{3}{2}V_0 = 1.5V_0$

Найдем давление в этой точке (обозначим ее как точку 3):$p_3 = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}(1.5V_0) = 3p_0 - 1.5p_0 = 1.5p_0$

Таким образом, на участке 1-3 (от $V_0$ до $1.5V_0$) температура растет (газ нагревается), а на участке 3-2 (от $1.5V_0$ до $2V_0$) температура падает (газ охлаждается).

Теперь рассчитаем количество теплоты для каждого участка по первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$.

Количество теплоты при нагревании (участок 1-3)

Изменение внутренней энергии $\Delta U_{1-3}$ для одноатомного газа ($U = \frac{3}{2}pV$):$\Delta U_{1-3} = U_3 - U_1 = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_1V_1) = \frac{3}{2}((1.5p_0)(1.5V_0) - (2p_0)(V_0)) = \frac{3}{2}(2.25p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2}(0.25p_0V_0) = 0.375p_0V_0$.

Работа газа $A_{1-3}$ равна площади трапеции под графиком 1-3:$A_{1-3} = \frac{p_1 + p_3}{2}(V_3 - V_1) = \frac{2p_0 + 1.5p_0}{2}(1.5V_0 - V_0) = \frac{3.5p_0}{2}(0.5V_0) = 0.875p_0V_0$.

Количество теплоты, полученное газом при нагревании:$Q_{нагр} = Q_{1-3} = \Delta U_{1-3} + A_{1-3} = 0.375p_0V_0 + 0.875p_0V_0 = 1.25p_0V_0$.

Количество теплоты при охлаждении (участок 3-2)

Изменение внутренней энергии $\Delta U_{3-2}$:$\Delta U_{3-2} = U_2 - U_3 = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_3V_3) = \frac{3}{2}((p_0)(2V_0) - (1.5p_0)(1.5V_0)) = \frac{3}{2}(2p_0V_0 - 2.25p_0V_0) = \frac{3}{2}(-0.25p_0V_0) = -0.375p_0V_0$.Знак минус указывает на уменьшение внутренней энергии, что соответствует охлаждению.

Работа газа $A_{3-2}$ равна площади трапеции под графиком 3-2:$A_{3-2} = \frac{p_3 + p_2}{2}(V_2 - V_3) = \frac{1.5p_0 + p_0}{2}(2V_0 - 1.5V_0) = \frac{2.5p_0}{2}(0.5V_0) = 0.625p_0V_0$.Работа положительна, так как газ продолжает расширяться.

Количество теплоты на участке охлаждения:$Q_{охл} = Q_{3-2} = \Delta U_{3-2} + A_{3-2} = -0.375p_0V_0 + 0.625p_0V_0 = 0.25p_0V_0$.

Поскольку $Q_{охл}$ получилось положительным, это означает, что газ получает теплоту даже в процессе охлаждения. Это возможно, так как совершаемая газом работа по расширению ($A_{3-2}$) по абсолютной величине больше, чем уменьшение его внутренней энергии ($|\Delta U_{3-2}|$). Энергия для совершения этой "избыточной" работы поступает извне в виде тепла.

Ответ: При нагревании газ получает количество теплоты, равное $1.25p_0V_0$. При охлаждении газ не отдает, а получает количество теплоты, равное $0.25p_0V_0$.