Номер 21.3, страница 155 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Жидкости, пары и твердые тела. 21. Свойства твердых тел. Упражнения - номер 21.3, страница 155.

Условие.

21.3. Железобетонная колонна сжата силой F. Какая часть нагрузки приходится на железо, если площадь поперечного сечения железа $S_\text{ж}$ в 20 раз меньше площади поперечного сечения бетона $S_\text{б}$, а модуль упругости железа $E_\text{ж}$ в 10 раз больше модуля упругости бетона $E_\text{б}$?

☑ 1/3.

Решение. На бетон и железо согласно закону Гука приходятся соответственно нагрузки $F_\text{б} = E_\text{б} S_\text{б} |\varepsilon|$ и $F_\text{ж} = E_\text{ж} S_\text{ж} |\varepsilon|$ (относительное удлинение $\varepsilon$ у бетона и железа одинаково; в данном случае оно отрицательно, потому что колонна сжата). Отсюда $\frac{F_\text{б}}{F_\text{ж}} = \frac{E_\text{б} S_\text{б}}{E_\text{ж} S_\text{ж}}$. Учитывая также, что $F_\text{б} + F_\text{ж} = F$, получаем: $\frac{F_\text{ж}}{F} = \left(1 + \frac{E_\text{б} S_\text{б}}{E_\text{ж} S_\text{ж}}\right)^{} = \frac{1}{3}$.

Решение.

Дано:

$S_б = 20 S_ж$

$E_ж = 10 E_б$

Найти:

$\frac{F_ж}{F}$

Решение:

Железобетонная колонна состоит из железа (арматуры) и бетона. При сжатии колонны общей силой $F$, эта сила распределяется между составляющими: силой, действующей на железо $F_ж$, и силой, действующей на бетон $F_б$.

$F = F_ж + F_б$

Так как железо и бетон сжимаются вместе как единое целое, их абсолютные и относительные деформации (удлинения) одинаковы. Обозначим относительную деформацию как $\epsilon$.

$\epsilon_ж = \epsilon_б = \epsilon$

Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в материале при деформации, равна:

$F_{упр} = E \cdot S \cdot |\epsilon|$

где $E$ — модуль упругости (модуль Юнга), $S$ — площадь поперечного сечения, а $|\epsilon|$ — абсолютное значение относительной деформации.

Применим этот закон к железу и бетону:

$F_ж = E_ж S_ж |\epsilon|$

$F_б = E_б S_б |\epsilon|$

Найдем отношение силы, приходящейся на бетон, к силе, приходящейся на железо:

$\frac{F_б}{F_ж} = \frac{E_б S_б |\epsilon|}{E_ж S_ж |\epsilon|} = \frac{E_б S_б}{E_ж S_ж}$

Подставим в это выражение данные из условия задачи: $S_б = 20 S_ж$ и $E_ж = 10 E_б$.

$\frac{F_б}{F_ж} = \frac{E_б \cdot (20 S_ж)}{(10 E_б) \cdot S_ж} = \frac{20}{10} = 2$

Отсюда получаем, что нагрузка на бетон в 2 раза больше, чем на железо: $F_б = 2 F_ж$.

Теперь подставим это соотношение в формулу для полной силы:

$F = F_ж + F_б = F_ж + 2 F_ж = 3 F_ж$

Из этого уравнения можно найти искомую часть нагрузки, которая приходится на железо:

$\frac{F_ж}{F} = \frac{F_ж}{3 F_ж} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.