Номер 92, страница 156 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 21. Свойства твердых тел. Жидкости, пары и твердые тела - номер 92, страница 156.

Условие.

O-92. Между двумя столбами натянута с небольшим усилием легкая проволока. К проволоке посередине подвешивают фонарь массой $\text{m}$. Площадь поперечного сечения проволоки равна $\text{S}$, модуль упругости материала $\text{E}$. Найдите угол провисания проволоки $\alpha$ (см. рисунок), считая его малым.

☑ $\alpha = \left(\frac{mg}{ES}\right)^{1/3}$

Решение. Из условия равновесия фонаря следует, что $2T \sin\alpha = mg$, где $\text{T}$ — сила натяжения проволоки. Согласно закону Гука $T = ES \frac{\Delta l}{l}$, где $\Delta l = l\left(\frac{1}{\cos\alpha} - 1\right)$ — удлинение проволоки, а $\text{l}$ — расстояние между столбами. Отсюда $2 \sin\alpha \cdot \frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{mg}{ES}$. При малых $\alpha$ можно считать $\sin\alpha = \alpha$, $1 - \cos\alpha = \alpha^2/2$. Тогда $\alpha = \left(\frac{mg}{ES}\right)^{1/3}$. Разумеется, это решение справедливо только при условии $mg \ll ES$.

Решение.

Дано:

Масса фонаря: $m$

Площадь поперечного сечения проволоки: $S$

Модуль упругости материала проволоки: $E$

Ускорение свободного падения: $g$

Угол провисания $\alpha$ мал.

Найти:

Угол провисания проволоки $\alpha$.

Решение:

Фонарь находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести $F_g = mg$, направленной вертикально вниз, и двух сил натяжения $T$ от левой и правой частей проволоки. Силы натяжения направлены вдоль проволоки под углом $\alpha$ к горизонту.

Запишем условие равновесия для фонаря в проекции на вертикальную ось:

$2 T \sin\alpha = mg$ (1)

Сила натяжения $T$ в проволоке возникает из-за ее упругой деформации и, согласно закону Гука, равна:

$T = ES \frac{\Delta l}{l_0}$ (2)

где $l_0$ — начальная длина половины проволоки, а $\Delta l$ — ее абсолютное удлинение.

Выразим удлинение через угол $\alpha$. Пусть $l_0$ — половина расстояния между столбами. После подвешивания фонаря длина этой части проволоки становится $l$. Из геометрии системы (см. рисунок) видно, что $l_0 = l \cos\alpha$. Следовательно, новая длина $l = \frac{l_0}{\cos\alpha}$.

Тогда удлинение составляет:

$\Delta l = l - l_0 = \frac{l_0}{\cos\alpha} - l_0 = l_0 \left( \frac{1}{\cos\alpha} - 1 \right)$

Подставим это выражение для $\Delta l$ в формулу (2) для силы натяжения:

$T = ES \frac{l_0 \left( \frac{1}{\cos\alpha} - 1 \right)}{l_0} = ES \left( \frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha} \right)$

Теперь подставим полученное выражение для $T$ в уравнение равновесия (1):

$2 \cdot ES \left( \frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha} \right) \sin\alpha = mg$

По условию задачи, угол $\alpha$ мал. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливы следующие приближенные равенства:

$\sin\alpha \approx \alpha$

$\cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$

Из второго приближения следует, что $1 - \cos\alpha \approx \frac{\alpha^2}{2}$. В знаменателе выражения для силы натяжения можно принять $\cos\alpha \approx 1$, так как это поправка более высокого порядка малости.

Подставим эти приближения в уравнение:

$2 ES \left( \frac{\alpha^2 / 2}{1} \right) \cdot \alpha \approx mg$

$2 ES \frac{\alpha^3}{2} \approx mg$

$ES \alpha^3 \approx mg$

Из этого уравнения выражаем искомый угол $\alpha$:

$\alpha^3 = \frac{mg}{ES}$

$\alpha = \left( \frac{mg}{ES} \right)^{1/3}$

Данное решение справедливо при условии малости угла $\alpha$, что эквивалентно условию $mg \ll ES$.

Ответ: $\alpha = \left( \frac{mg}{ES} \right)^{1/3}$.