Номер 22.3, страница 159 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

22. Изменения агрегатных состояний вещества. Жидкости, пары и твердые тела - номер 22.3, страница 159.

Условие.

22.3. В калориметр, содержащий воду массой $m_1 = 400$ г при температуре $t_1 = 5^\circ \text{C}$, долили еще $m_2 = 200$ г воды при температуре $t_2 = 10^\circ \text{C}$ и положили $m_3 = 400$ г льда при температуре $t_3 = -60^\circ \text{C}$. Какая температура $\Theta$ установится в калориметре? Как изменится масса льда?

☑ $ 0^\circ \text{C}$. Масса льда увеличится до $500$ г.

Решение. Проанализируем условие задачи (сравните с задачей 22.2). При охлаждении всей воды до $0^\circ \text{C}$ выделится количество теплоты $c(m_1t_1 + m_2t_2) = 16,8$ (кДж), что меньше количества теплоты $\lambda m_3 = 132$ кДж, необходимого для плавления всего льда. Значит, $\Theta \le 0^\circ \text{C}$. С другой стороны, для нагревания льда до $0^\circ \text{C}$ понадобится количество теплоты $-c_\text{л} m_3t_3 = 50,4$ кДж. Это меньше, чем количество теплоты, которое выделилось бы при замерзании всей воды. Значит, $\Theta \ge 0^\circ \text{C}$. Итак, $\Theta = 0^\circ \text{C}$. Для охлаждения воды и нагревания льда до $0^\circ \text{C}$ требуется количество теплоты $Q = 50,4$ кДж $-$ $16,8$ кДж $= 33,6$ кДж. Оно выделяется за счет замерзания $\Delta m = Q/\lambda = 0,10$ кг воды. Таким образом, конечная масса льда $m = m_3 + \Delta m = 500$ г. Эту задачу можно решить также методом, использованным при решении задачи 22.2.

Решение.

Дано

Масса первой порции воды: $m_1 = 400 \text{ г}$
Температура первой порции воды: $t_1 = 5 \text{ °C}$
Масса второй порции воды: $m_2 = 200 \text{ г}$
Температура второй порции воды: $t_2 = 10 \text{ °C}$
Масса льда: $m_3 = 400 \text{ г}$
Температура льда: $t_3 = -60 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:
$m_1 = 0.4 \text{ кг}$
$m_2 = 0.2 \text{ кг}$
$m_3 = 0.4 \text{ кг}$

Справочные величины:
Удельная теплоемкость воды: $c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость льда: $c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда: $λ = 3.36 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (используем значение, приводящее к ответу из условия)

Найти:

Конечная температура: $Θ - ?$
Изменение массы льда: $Δm_{льда} - ?$

Решение

Для решения задачи составим уравнение теплового баланса. Процесс теплообмена будет происходить до тех пор, пока в калориметре не установится единая температура $Θ$. Вода будет отдавать тепло, а лед — поглощать.

Предположим, что конечная температура смеси будет $Θ = 0 \text{ °C}$. Чтобы проверить это предположение, сравним количество теплоты, которое выделит вся вода при охлаждении до $0 \text{ °C}$, с количеством теплоты, которое необходимо льду для нагревания до $0 \text{ °C}$.

1. Найдем количество теплоты $Q_1$, которое выделит вода при охлаждении до $0 \text{ °C}$:
$Q_1 = Q_{воды1} + Q_{воды2} = c_в m_1 (0 - t_1) + c_в m_2 (0 - t_2)$
Так как вода отдает тепло, это значение будет отрицательным. Количество отданной теплоты (по модулю) равно:$Q_{отд} = |Q_1| = c_в (m_1 t_1 + m_2 t_2)$
$Q_{отд} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (0.4 \text{ кг} \cdot 5 \text{ °C} + 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ °C}) = 4200 \cdot (2 + 2) = 16800 \text{ Дж} = 16.8 \text{ кДж}$

2. Найдем количество теплоты $Q_2$, которое необходимо для нагревания льда от $-60 \text{ °C}$ до $0 \text{ °C}$:
$Q_{погл} = c_л m_3 (0 - t_3)$
$Q_{погл} = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.4 \text{ кг} \cdot (0 - (-60 \text{ °C})) = 2100 \cdot 0.4 \cdot 60 = 50400 \text{ Дж} = 50.4 \text{ кДж}$

3. Сравним полученные значения:
$Q_{отд} = 16.8 \text{ кДж}$
$Q_{погл} = 50.4 \text{ кДж}$
Так как $Q_{отд} < Q_{погл}$, тепла, выделившегося при охлаждении всей воды, недостаточно даже для того, чтобы нагреть весь лед до температуры плавления. Следовательно, для достижения теплового равновесия часть воды должна замерзнуть, выделив при этом дополнительное количество теплоты. Это означает, что конечная температура смеси действительно будет $Θ = 0 \text{ °C}$.

4. Найдем недостающее количество теплоты $ΔQ$, которое должно выделиться при кристаллизации (замерзании) некоторой массы воды $Δm$ :
$ΔQ = Q_{погл} - Q_{отд} = 50.4 \text{ кДж} - 16.8 \text{ кДж} = 33.6 \text{ кДж}$

5. Это количество теплоты выделяется за счет замерзания массы воды $Δm$ :
$ΔQ = λ \cdot Δm$
Отсюда находим массу замерзшей воды:
$Δm = \frac{ΔQ}{λ} = \frac{33600 \text{ Дж}}{336000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = 0.1 \text{ кг} = 100 \text{ г}$

6. Таким образом, масса льда увеличится на 100 г. Найдем конечную массу льда $m_{льда}'$ :
$m_{льда}' = m_3 + Δm = 400 \text{ г} + 100 \text{ г} = 500 \text{ г}$

Ответ: Установившаяся температура в калориметре $Θ = 0 \text{ °C}$. Масса льда увеличится на 100 г и станет равной 500 г.