Номер 22.9, страница 161 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

22. Изменения агрегатных состояний вещества. Жидкости, пары и твердые тела - номер 22.9, страница 161.

Условие.

22.9. Лед, взятый при температуре $t_1 = 0 ^\circ\text{C}$, превратили в воду, температура которой $t_2 = +10 ^\circ\text{C}$. Сравните продолжительность различных этапов процесса и постройте график зависимости температуры $\text{t}$ от времени $\tau$, считая, что вещество ежесекундно получало одно и то же количество теплоты.

☑ См. рисунок.

Решение. Пока лед нагревается, $t(\tau)$ линейно возрастает от $t_1$ до $0 ^\circ\text{C}$, затем некоторое время лед тает при постоянной температуре $t = 0 ^\circ\text{C}$, после чего $t(\tau)$ опять линейно возрастает (нагревается вода). Чтобы сравнить длительности $\tau_1$, $\tau_2$, $\tau_3$ каждого из этапов, воспользуемся соотношениями $P\tau_1 = c_\text{л}m(0^{\circ} - t_1)$, $P\tau_2 = \lambda m$, $P\tau_3 = c_\text{в}m(t_2 - 0 ^\circ\text{C}$. Здесь $\text{P}$ — мощность нагревателя; $c_\text{л}$ и $c_\text{в}$ — удельные теплоемкости соответственно льда и воды ($c_\text{л} = c_\text{в}/2$); $\lambda$ — удельная теплота плавления льда. Из написанных соотношений получаем $\tau_2 = 16\tau_1$, $\tau_3 = 2\tau_1$ (вода нагревается вдвое медленнее льда из-за вдвое большей удельной теплоемкости).

Решение.

Дано:

Начальная температура льда $t_1 = -10$ °C

Конечная температура воды $t_2 = +10$ °C

Мощность нагревателя $P = const$

Масса вещества $m$

Удельная теплоемкость льда $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость воды $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3.36 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

Температура плавления льда $t_{пл} = 0$ °C

Перевод в систему СИ:

Начальная температура $T_1 = -10 + 273.15 = 263.15$ К

Конечная температура $T_2 = +10 + 273.15 = 283.15$ К

Температура плавления $T_{пл} = 0 + 273.15 = 273.15$ К

(Для расчетов изменения температуры можно использовать шкалу Цельсия, так как $\Delta t = \Delta T$)

Найти:

1. Соотношение продолжительностей этапов процесса $\tau_1 : \tau_2 : \tau_3$.

2. График зависимости температуры $t$ от времени $\tau$.

Решение:

Весь процесс можно разделить на три этапа:

1. Нагревание льда от начальной температуры $t_1 = -10$ °C до температуры плавления $t_{пл} = 0$ °C. Продолжительность этого этапа — $\tau_1$.

2. Плавление льда при постоянной температуре $t_{пл} = 0$ °C. Продолжительность этого этапа — $\tau_2$.

3. Нагревание образовавшейся воды от $t_{пл} = 0$ °C до конечной температуры $t_2 = +10$ °C. Продолжительность этого этапа — $\tau_3$.

По условию, вещество ежесекундно получает одно и то же количество теплоты, это означает, что мощность нагревателя $P$ постоянна. Количество теплоты $Q$, полученное за время $\tau$, равно $Q = P \cdot \tau$.

1. Сравнение продолжительности различных этапов процесса

Запишем количество теплоты для каждого этапа:

На первом этапе (нагревание льда) количество теплоты равно:

$Q_1 = c_л \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1) = c_л \cdot m \cdot (0 - (-10)) = 10 \cdot c_л \cdot m$

На втором этапе (плавление льда) количество теплоты равно:

$Q_2 = \lambda \cdot m$

На третьем этапе (нагревание воды) количество теплоты равно:

$Q_3 = c_в \cdot m \cdot (t_2 - t_{пл}) = c_в \cdot m \cdot (10 - 0) = 10 \cdot c_в \cdot m$

Теперь выразим продолжительность каждого этапа через мощность нагревателя $P$:

$\tau_1 = \frac{Q_1}{P} = \frac{10 \cdot c_л \cdot m}{P}$

$\tau_2 = \frac{Q_2}{P} = \frac{\lambda \cdot m}{P}$

$\tau_3 = \frac{Q_3}{P} = \frac{10 \cdot c_в \cdot m}{P}$

Чтобы сравнить продолжительности, найдем их соотношения. Выразим $\tau_2$ и $\tau_3$ через $\tau_1$:

$\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{\lambda \cdot m / P}{10 \cdot c_л \cdot m / P} = \frac{\lambda}{10 \cdot c_л}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{3.36 \cdot 10^5}{10 \cdot 2100} = \frac{336000}{21000} = 16$

Таким образом, $\tau_2 = 16\tau_1$.

Теперь найдем отношение $\tau_3$ к $\tau_1$:

$\frac{\tau_3}{\tau_1} = \frac{10 \cdot c_в \cdot m / P}{10 \cdot c_л \cdot m / P} = \frac{c_в}{c_л}$

Подставим числовые значения ($c_в \approx 2c_л$):

$\frac{\tau_3}{\tau_1} = \frac{4200}{2100} = 2$

Таким образом, $\tau_3 = 2\tau_1$.

Соотношение продолжительностей этапов: $\tau_1 : \tau_2 : \tau_3 = \tau_1 : 16\tau_1 : 2\tau_1 = 1 : 16 : 2$.

Ответ: Соотношение продолжительностей этапов нагревания льда, плавления льда и нагревания воды составляет $1 : 16 : 2$.

2. Построение графика зависимости температуры t от времени τ

График будет состоять из трех участков, соответствующих трем этапам процесса.

Участок 1 (время от $0$ до $\tau_1$): Нагревание льда. Так как мощность нагревателя постоянна, температура растет линейно со временем от $t_1 = -10$ °C до $t_{пл} = 0$ °C. Этот участок представляет собой наклонный отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -10)$ и $(\tau_1, 0)$.

Участок 2 (время от $\tau_1$ до $\tau_1 + \tau_2 = 17\tau_1$): Плавление льда. Вся получаемая энергия идет на разрушение кристаллической решетки, поэтому температура остается постоянной и равной $t_{пл} = 0$ °C. Этот участок представляет собой горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(\tau_1, 0)$ и $(17\tau_1, 0)$.

Участок 3 (время от $17\tau_1$ до $17\tau_1 + \tau_3 = 19\tau_1$): Нагревание воды. Температура снова начинает расти линейно от $t_{пл} = 0$ °C до $t_2 = +10$ °C. Этот участок представляет собой наклонный отрезок прямой, соединяющий точки $(17\tau_1, 0)$ и $(19\tau_1, 10)$.

Сравним наклоны первого и третьего участков. Наклон графика равен скорости изменения температуры $\frac{\Delta t}{\Delta \tau}$.

Наклон первого участка: $k_1 = \frac{0 - (-10)}{\tau_1} = \frac{10}{\tau_1}$.

Наклон третьего участка: $k_3 = \frac{10 - 0}{2\tau_1} = \frac{5}{\tau_1}$.

Так как $k_1 = 2k_3$, первый участок (нагревание льда) в два раза круче третьего (нагревание воды). Это связано с тем, что удельная теплоемкость воды вдвое больше, чем у льда.

Ответ: График состоит из трех последовательных отрезков прямых:1) Наклонный отрезок от точки $(0, -10)$ до $(\tau_1, 0)$.2) Горизонтальный отрезок от точки $(\tau_1, 0)$ до $(17\tau_1, 0)$.3) Наклонный отрезок от точки $(17\tau_1, 0)$ до $(19\tau_1, 10)$, причем его наклон в два раза меньше, чем у первого отрезка.