Номер 23.1, страница 163 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 23.1, страница 163.

Условие.

23.1. После того как два маленьких заряженных металлических шарика привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние, сила их кулоновского взаимодействия увеличилась в $n = 4/3$ раза. Одноименными или разноименными были первоначально заряды $q_1$ и $q_2$ на шариках? Во сколько раз они отличались по модулю? Радиусы шариков равны.

☑ Заряды могли быть одноименными и отличаться в 3 раза или разноименными и отличаться по модулю в 7,2 раза.

Решение. Поскольку шарики одинаковы, после соприкосновения каждый из них имеет один и тот же заряд $q = \frac{q_1 + q_2}{2}$. Определим согласно закону Кулона силы их взаимодействия до и после соприкосновения соответственно: $F = k \frac{|q_1||q_2|}{r^2}$ и $nF = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$, где $\text{r}$ — расстояние между шариками. Отсюда $(q_1 + q_2)^2 = 4n|q_1||q_2|$. Обозначим $\frac{q_1}{q_2} = x$ и разделим последнее равенство на $q_2^2 = |q_2|^2$.

Получим: $(x+1)^2 = 4n|x|$ или $x^2 + 2(x - 2n|x|) + 1 = 0$.

Предполагая, что $x > 0$ (т. е. $|x| = x$), получим $x_{1,2} = 2n - 1 \pm \sqrt{(2n)^2 - 1}$,

т. е. $x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{3}$. Оба решения, естественно, означают одно и то же: одноименные заряды на шариках отличаются в 3 раза.

Предполагая, что $x < 0$ (т. е. $|x| = -x$), придем к решениям $x_1 = - \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \approx -7,2; x_2 = \frac{1}{x_1}$.

Оба эти решения означают, что заряды $q_1$ и $q_2$ могли быть разноименными, отличающимися по модулю в 7,2 раза.

Решение.

Дано:

Отношение сил взаимодействия после и до соприкосновения: $n = \frac{F'}{F} = 4/3$
Шарики одинаковые (одинакового радиуса и из одного материала).
Расстояние между шариками до и после соприкосновения одинаково.

Найти:

1. Были ли начальные заряды $q_1$ и $q_2$ одноименными или разноименными?
2. Во сколько раз отличались их модули, то есть найти $\frac{|q_1|}{|q_2|}$.

Решение:

Сила кулоновского взаимодействия между шариками до их соприкосновения определяется законом Кулона:$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$где $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ — начальные заряды шариков, $r$ — расстояние между ними.

Поскольку шарики металлические и одинаковые, после соприкосновения их суммарный заряд $q_1 + q_2$ разделится между ними поровну. Заряд каждого шарика станет равным:$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

После того как шарики раздвинули на прежнее расстояние $r$, сила взаимодействия между ними стала:$F' = k \frac{q' \cdot q'}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$

По условию задачи, $F' = nF$. Подставим выражения для сил и заданное значение $n = 4/3$:$k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2} = n \cdot k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Сократив одинаковые множители ($k$ и $r^2$), получим основное уравнение, связывающее начальные заряды:$\frac{(q_1 + q_2)^2}{4} = n |q_1 q_2|$$(q_1 + q_2)^2 = 4n |q_1 q_2|$

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от знаков начальных зарядов.

1. Заряды $q_1$ и $q_2$ были одноименными.

В этом случае произведение зарядов положительно ($q_1 q_2 > 0$), и, следовательно, $|q_1 q_2| = q_1 q_2$. Уравнение принимает вид:$(q_1 + q_2)^2 = 4n q_1 q_2$

Раскроем скобки и преобразуем:$q_1^2 + 2q_1q_2 + q_2^2 = 4n q_1 q_2$$q_1^2 + (2 - 4n)q_1q_2 + q_2^2 = 0$

Разделим уравнение на $q_2^2$ (полагая, что $q_2 \ne 0$) и введем обозначение $x = \frac{q_1}{q_2}$. Поскольку заряды одноименные, отношение $x$ будет положительным.$(\frac{q_1}{q_2})^2 + (2 - 4n)(\frac{q_1}{q_2}) + 1 = 0$$x^2 + (2 - 4n)x + 1 = 0$

Подставим $n = 4/3$:$x^2 + (2 - 4 \cdot \frac{4}{3})x + 1 = 0$$x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:$x_{1,2} = \frac{\frac{10}{3} \pm \sqrt{(\frac{10}{3})^2 - 4}}{2} = \frac{\frac{10}{3} \pm \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{36}{9}}}{2} = \frac{\frac{10}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9}}}{2} = \frac{\frac{10}{3} \pm \frac{8}{3}}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{18/3}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$.Оба корня положительны, что соответствует нашему предположению об одноименных зарядах. Они показывают, что отношение модулей зарядов $|\frac{q_1}{q_2}|$ равно 3 (или 1/3, что то же самое).

2. Заряды $q_1$ и $q_2$ были разноименными.

В этом случае произведение зарядов отрицательно ($q_1 q_2 < 0$), и, следовательно, $|q_1 q_2| = -q_1 q_2$. Уравнение принимает вид:$(q_1 + q_2)^2 = -4n q_1 q_2$

Раскроем скобки и преобразуем:$q_1^2 + 2q_1q_2 + q_2^2 = -4n q_1 q_2$$q_1^2 + (2 + 4n)q_1q_2 + q_2^2 = 0$

Снова разделим на $q_2^2$ и обозначим $x = \frac{q_1}{q_2}$. В этом случае отношение $x$ будет отрицательным.$x^2 + (2 + 4n)x + 1 = 0$

Подставим $n = 4/3$:$x^2 + (2 + 4 \cdot \frac{4}{3})x + 1 = 0$$x^2 + \frac{22}{3}x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение:$x_{1,2} = \frac{-\frac{22}{3} \pm \sqrt{(\frac{22}{3})^2 - 4}}{2} = \frac{-\frac{22}{3} \pm \sqrt{\frac{484}{9} - \frac{36}{9}}}{2} = \frac{-\frac{22}{3} \pm \sqrt{\frac{448}{9}}}{2} = \frac{-\frac{22}{3} \pm \frac{\sqrt{64 \cdot 7}}{3}}{2} = \frac{-11 \pm 4\sqrt{7}}{3}$

Оба корня $x_1 = \frac{-11 + 4\sqrt{7}}{3}$ и $x_2 = \frac{-11 - 4\sqrt{7}}{3}$ являются отрицательными, что соответствует предположению о разноименных зарядах.Найдем отношение модулей зарядов, которое равно $|x|$. Возьмем модуль одного из корней:$|x_2| = |\frac{-11 - 4\sqrt{7}}{3}| = \frac{11 + 4\sqrt{7}}{3} \approx \frac{11 + 4 \cdot 2.646}{3} \approx \frac{11 + 10.584}{3} \approx \frac{21.584}{3} \approx 7.2$

Таким образом, оба варианта (одноименные и разноименные заряды) возможны и приводят к разным отношениям модулей зарядов.

Ответ: Заряды могли быть как одноименными, так и разноименными. Если заряды были одноименными, то их модули отличались в 3 раза. Если заряды были разноименными, то их модули отличались примерно в 7,2 раза.