Номер 22.2, страница 158 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

22. Изменения агрегатных состояний вещества. Жидкости, пары и твердые тела - номер 22.2, страница 158.

Условие.

22.2. В калориметр, содержащий $m_в = 1,5$ кг воды при температуре $t_в = 20^{\circ}\text{С}$, положили $m_л = 1,0$ кг льда, имеющего температуру $t_л = 0^{\circ}\text{С}$. Какая температура $\Theta$ установится в калориметре?

☑ $ \Theta = 0^{\circ}\text{С}$.

Решение. Уравнение теплового баланса имеет вид $Q_в + Q_л = 0$

Решение. Уравнение теплового баланса имеет вид $Q_в + Q_л = 0$, где $Q_в < 0$ — количество теплоты, отданное водой; $Q_л > 0$ — количество теплоты, полученное льдом. Заметим, что эту задачу нецелесообразно решать в общем виде, потому что выражения для величин $Q_в$ и $Q_л$ зависят от того, что будет находиться в калориметре после установления теплового равновесия: вода, смесь воды со льдом или лед. А это определяется числовыми значениями величин, заданных в условии. Предположим сначала, что весь лед растает. Тогда

$Q_в = m_в c_в (\Theta - t_в)$, $Q_л = m_л c_л (0^{\circ}\text{С} - t_л) + \lambda m_л + m_л c_в (\Theta - 0^{\circ}\text{С})$ (лед нагревается до $0^{\circ}\text{С}$, тает, а затем уже нагревается вода), из уравнения теплового баланса получаем $\Theta = \frac{m_в c_в t_в + m_л c_л t_л - \lambda m_л}{c_в (m_л + m_в)} = -21^{\circ}\text{С}$.

Полученное значение ($\Theta < 0^{\circ}\text{С}$) противоречит предположению, что весь лед растает. Если предположить теперь, что вся вода замерзнет, мы снова придем к противоречию (нетрудно убедиться, что при этом получится $\Theta > 0^{\circ}\text{С}$). Остается последняя возможность: в калориметре будет находиться вода со льдом, т. е. $\Theta = 0^{\circ}\text{С}$. К этому результату можно прийти быстрее, если заметить, что вода даже при остывании до $0^{\circ}\text{С}$ отдаст количество теплоты, которого хватит лишь на плавление льда массой $m_в c_в t_в / \lambda = 0,38$ кг, что меньше $m_л$ (при этом мы даже не учли необходимости нагревания льда до $0^{\circ}\text{С}$, что при других числовых данных может оказаться существенным). Значит, $\Theta \le 0^{\circ}\text{С}$. Аналогично доказывается, что $\Theta \ge 0^{\circ}\text{С}$. Отсюда следует, что $\Theta = 0^{\circ}\text{С}$.

Решение.

Дано:

Масса воды, $m_в = 1,5$ кг

Начальная температура воды, $t_в = 20$ °C

Масса льда, $m_л = 1,0$ кг

Начальная температура льда, $t_л = -10$ °C

Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплоемкость льда, $c_л = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$

$t_в = 20 + 273,15 = 293,15$ К

$t_л = -10 + 273,15 = 263,15$ К

Найти:

Конечная температура в калориметре, $\Theta$ - ?

Решение:

Для определения конечной температуры $\Theta$ необходимо составить уравнение теплового баланса. В данной задаче конечное состояние системы (вся вода замерзнет, весь лед растает, или останется смесь воды и льда) заранее не известно. Поэтому необходимо сравнить количество теплоты, которое может отдать вода при остывании до $0$ °C, с количеством теплоты, которое необходимо для нагревания и полного плавления льда.

1. Вычислим максимальное количество теплоты $Q_{отд}$, которое может отдать вода, остывая от начальной температуры $t_в = 20$ °C до температуры плавления льда $t_{пл} = 0$ °C.

$Q_{отд} = c_в \cdot m_в \cdot (t_в - t_{пл})$

$Q_{отд} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1,5 \text{ кг} \cdot (20 \text{°C} - 0 \text{°C}) = 126000$ Дж.

2. Вычислим количество теплоты $Q_{получ}$, которое необходимо сообщить льду для его нагревания от $t_л = -10$ °C до $t_{пл} = 0$ °C и последующего полного плавления.

Это количество теплоты состоит из двух частей: теплоты на нагревание льда до $0$ °C ($Q_1$) и теплоты на его плавление ($Q_2$).

Нагревание льда:

$Q_1 = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_л)$

$Q_1 = 2100 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1,0 \text{ кг} \cdot (0 \text{°C} - (-10 \text{°C})) = 21000$ Дж.

Плавление всего льда:

$Q_2 = \lambda \cdot m_л$

$Q_2 = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 1,0 \text{ кг} = 330000$ Дж.

Общее необходимое количество теплоты:

$Q_{получ} = Q_1 + Q_2 = 21000 \text{ Дж} + 330000 \text{ Дж} = 351000$ Дж.

3. Сравним полученные значения $Q_{отд}$ и $Q_{получ}$.

$Q_{отд} = 126000$ Дж

$Q_{получ} = 351000$ Дж

Поскольку $Q_{отд} < Q_{получ}$ ($126000 \text{ Дж} < 351000 \text{ Дж}$), тепла, отданного водой при ее остывании до $0$ °C, недостаточно для того, чтобы нагреть и полностью расплавить весь лед. Это означает, что не весь лед растает, а вся вода остынет до $0$ °C. В калориметре установится тепловое равновесие, и в нем будет находиться смесь воды и льда. Температура такой смеси равна температуре плавления льда.

Следовательно, конечная температура в калориметре составит $0$ °C.

Ответ: $\Theta = 0$ °C.