Номер 31.3, страница 221 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Упражнения - номер 31.3, страница 221.

Условие.

31.3. Электрон влетает со скоростью $\vec{v}$ в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. Скорость электрона направлена перпендикулярно вектору $\vec{B}$. По какой траектории будет двигаться электрон?

☑ По окружности радиусом $R = mv/(eB)$.

Решение. На электрон действует сила Лоренца $F_{\text{Л}} = eBv$, перпендикулярная вектору $\vec{B}$. Поскольку начальная скорость электрона также перпендикулярна $\vec{B}$, его траектория лежит в одной плоскости (перпендикулярной вектору $\vec{B}$). Работа силы Лоренца равна нулю, поэтому $v = \text{const}$; электрон движется с постоянным по модулю ускорением ($a = F_{\text{Л}}/m = eBv/m$), которое перпендикулярно скорости. Перечисленным условиям удовлетворяет только одна траектория — окружность, радиус которой можно найти из соотношения $a = v^2/R$.

Решение.

Дано:

Заряд электрона: $q = -e$ (где $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл - элементарный заряд)

Масса электрона: $m$

Скорость электрона: $\vec{v}$

Индукция магнитного поля: $\vec{B}$

Условие: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Найти:

Траекторию движения электрона.

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая определяется векторным произведением:

$\vec{F_Л} = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Для электрона заряд $q = -e$, поэтому:

$\vec{F_Л} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$

По определению векторного произведения, вектор силы Лоренца $\vec{F_Л}$ перпендикулярен и вектору скорости $\vec{v}$, и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = |q|vB\sin\alpha = evB\sin\alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$. По условию задачи скорость электрона перпендикулярна вектору магнитной индукции, следовательно, $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Тогда модуль силы Лоренца принимает максимальное значение:

$F_Л = evB$

Так как сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, она не совершает работы над электроном ($A = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = 0$, так как $\vec{F} \perp \vec{v}$ и, соответственно, $\vec{F} \perp \Delta\vec{r}$). Согласно теореме о кинетической энергии, если работа не совершается, то кинетическая энергия частицы не изменяется. Это означает, что модуль скорости электрона $v$ остается постоянным ($v = \text{const}$).

Сила, которая постоянно действует перпендикулярно скорости и имеет постоянный модуль, является центростремительной силой. Она заставляет тело двигаться по окружности с постоянной по модулю скоростью. Таким образом, электрон будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$.

Согласно второму закону Ньютона, сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$:

$F_Л = ma_ц$

$evB = m\frac{v^2}{R}$

Из этого соотношения можно выразить радиус траектории $R$:

$eB = \frac{mv}{R}$

$R = \frac{mv}{eB}$

Таким образом, электрон будет двигаться по окружности, радиус которой зависит от его массы, скорости, заряда и индукции магнитного поля.

Ответ: Электрон будет двигаться по окружности радиусом $R = \frac{mv}{eB}$.