Номер 136, страница 243 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 33. Свободные электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 136, страница 243.

Условие.

О36. Один из двух одинаковых конденсаторов (см. рисунок) заряжен до напряжения $U_0$, а другой — не заряжен. Какое напряжение $\text{U}$ установится на конденсаторах после замыкания ключа? Как согласуется этот результат с законом сохранения энергии? Рассмотрите, в частности, случай, когда соединительные провода являются сверхпроводящими.

Решение. Из закона сохранения заряда следует, что $CU_0 = 2CU$, откуда $U = U_0/2$. Энергия каждого из конденсаторов будет вчетверо меньше начальной энергии $W_0 = CU_0^2/2$, а энергия всей системы — вдвое меньше $W_0$. Рассмотрим, как согласуется это с законом сохранения энергии. Обозначим сопротивление проводов $\text{R}$. Тогда увеличение их внутренней энергии $Q \sim I_0^2Rt$, где $I_0 = U_0/R$ — начальная сила тока в цепи, $τ \sim RC$ — время перераспределения зарядов (см. задачу О22). Отсюда $Q \sim CU^2$, т. е. заметная часть $W_0$ превращается во внутреннюю энергию. Поскольку полученный вывод не зависит от $\text{R}$, формально он применим и при $R \to 0$. Однако сверхпроводящие провода вообще не нагреваются при прохождении тока! В этом случае на первый план выступает другой путь «исчезновения» энергии. Всякая замкнутая цепь обладает индуктивностью, поэтому данная цепь представляет собой колебательный контур. После замыкания ключа возникают электромагнитные колебания, затухающие вследствие излучения электромагнитных волн. Эти-то волны и унесут «исчезнувшую» энергию.

Решение.

Дано:

Емкость первого конденсатора: $C_1 = C$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_{01} = U_0$

Емкость второго конденсатора: $C_2 = C$

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_{02} = 0$

Найти:

1. Установившееся напряжение на конденсаторах: $U$

2. Объяснить результат с точки зрения закона сохранения энергии.

Решение:

Какое напряжение U установится на конденсаторах после замыкания ключа?

Рассмотрим систему из двух конденсаторов как замкнутую. При замыкании ключа произойдет перераспределение заряда между ними. Согласно закону сохранения заряда, суммарный заряд системы до замыкания ключа равен суммарному заряду после установления равновесия.

Начальный заряд системы $q_{нач}$: $q_{нач} = q_1 + q_2 = C_1 U_{01} + C_2 U_{02} = C U_0 + C \cdot 0 = C U_0$

После замыкания ключа конденсаторы оказываются соединенными параллельно. Напряжение на них станет одинаковым и равным $U$. Общая емкость системы при параллельном соединении $C_{общ}$ будет равна сумме емкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = C + C = 2C$

Конечный заряд системы $q_{кон}$:

$q_{кон} = C_{общ} U = 2C U$

Приравниваем начальный и конечный заряды:

$q_{нач} = q_{кон}$

$C U_0 = 2C U$

Отсюда находим установившееся напряжение $U$:

$U = \frac{C U_0}{2C} = \frac{U_0}{2}$

Ответ: Напряжение, которое установится на конденсаторах, равно $U = \frac{U_0}{2}$.

Как согласуется этот результат с законом сохранения энергии?

Проверим, сохранилась ли энергия, запасенная в конденсаторах. Начальная энергия системы $W_{нач}$ была запасена только в первом конденсаторе:

$W_{нач} = \frac{C_1 U_{01}^2}{2} + \frac{C_2 U_{02}^2}{2} = \frac{C U_0^2}{2} + 0 = \frac{C U_0^2}{2}$

Конечная энергия системы $W_{кон}$ — это энергия двух конденсаторов с напряжением $U = U_0/2$ на каждом:

$W_{кон} = \frac{C_{общ} U^2}{2} = \frac{(2C) (\frac{U_0}{2})^2}{2} = \frac{2C \frac{U_0^2}{4}}{2} = \frac{\frac{C U_0^2}{2}}{2} = \frac{C U_0^2}{4}$

Сравнивая начальную и конечную энергию, видим, что $W_{кон} = \frac{1}{2} W_{нач}$. Половина начальной энергии "исчезла".

Это не нарушает закон сохранения энергии. "Потеря" энергии электрического поля объясняется тем, что при перераспределении заряда по соединительным проводам течет кратковременный электрический ток. Любые реальные провода обладают электрическим сопротивлением $R$. При прохождении тока по этим проводам выделяется теплота в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Энергия электрического поля переходит во внутреннюю (тепловую) энергию проводов. Разность энергий $\Delta W$ как раз и равна выделившейся теплоте $Q$:

$\Delta W = W_{нач} - W_{кон} = \frac{C U_0^2}{2} - \frac{C U_0^2}{4} = \frac{C U_0^2}{4}$

Таким образом, полная энергия системы сохраняется: начальная электрическая энергия равна сумме конечной электрической энергии и выделившейся тепловой энергии.

Ответ: Половина начальной энергии электрического поля превращается в тепловую энергию, которая выделяется в соединительных проводах при перетекании заряда, что не противоречит закону сохранения энергии.

Рассмотрите, в частности, случай, когда соединительные провода являются сверхпроводящими.

В случае сверхпроводящих проводов их сопротивление $R = 0$. Следовательно, тепловая энергия выделяться не может ($Q=0$). Однако, как мы посчитали выше, конечная энергия электрического поля все равно будет вдвое меньше начальной. Это кажущееся противоречие разрешается, если учесть, что любой замкнутый контур обладает не только емкостью и сопротивлением, но и индуктивностью $L$.

При замыкании ключа в цепи, состоящей из конденсаторов и катушки индуктивности (которой является сам контур), образуется колебательный LC-контур. В этом контуре возникают затухающие электромагнитные колебания: энергия будет периодически переходить из электрического поля конденсаторов в магнитное поле, создаваемое током в контуре, и обратно.

Почему колебания затухают, если нет сопротивления? Колебательный контур является источником электромагнитных волн, которые излучаются в окружающее пространство. Эти волны уносят с собой энергию. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока система не придет в состояние равновесия (ток прекратится, а напряжение на конденсаторах станет равным $U = U_0/2$). "Потерянная" энергия $\Delta W = \frac{C U_0^2}{4}$ в данном случае будет унесена электромагнитным излучением.

Ответ: В случае сверхпроводящих проводов "исчезнувшая" часть энергии излучается в виде электромагнитных волн.