Номер 34.2, страница 245 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

34. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 34.2, страница 245.

Условие.

34.2. Антенна корабельного радиолокатора находится на высоте $h = 25 \text{ м}$ над уровнем моря. На каком максимальном расстоянии $s_{max}$ радиолокатор может обнаружить спасательный плот? С какой частотой $\text{n}$ могут при этом испускаться импульсы?

☑ $s_{max} = 18 \text{ км}$, $n < 8300 \text{ с}^{}$.

Решение. Радиолокаторы работают в УКВ-диапазоне, поэтому их излучение распространяется практически прямолинейно, в пределах прямой видимости. На рисунке точка А — радиолокатор, $AB = s_{max}$, $OB = R$ — радиус Земли. Применяя к прямоугольному треугольнику АВО теорему Пифагора, находим $s_{max} = \sqrt{h(2R+h)} \approx \sqrt{2Rh} = 18 \text{ км}$. Отраженный радиоимпульс должен вернуться до того, как начнется излучение следующего импульса, т. е. $\frac{2s_{max}}{c} \le \frac{1}{n}$. Отсюда $n \le \frac{c}{2s_{max}} = 8300 \text{ с}^{}$.

Решение.

Дано:

Высота антенны, $h = 25$ м

Средний радиус Земли, $R \approx 6400$ км

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$s_{max}$ - ?

$n$ - ?

Решение:

На каком максимальном расстоянии $s_{max}$ радиолокатор может обнаружить спасательный плот?

Радиоволны в УКВ-диапазоне, используемом радиолокаторами, распространяются прямолинейно. Максимальная дальность обнаружения объекта на поверхности моря определяется расстоянием прямой видимости, которое ограничено кривизной земной поверхности. Луч, идущий от антенны радиолокатора, должен касаться поверхности Земли в точке, где находится спасательный плот.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром Земли (O), местоположением антенны (A) и плотом (B). Катет OB — это радиус Земли $R$, катет AB — это искомое максимальное расстояние $s_{max}$. Гипотенуза OA равна сумме радиуса Земли и высоты антенны, $R+h$.

Согласно теореме Пифагора:

$OA^2 = OB^2 + AB^2$

$(R+h)^2 = R^2 + s_{max}^2$

Раскроем скобки:

$R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + s_{max}^2$

Отсюда выразим $s_{max}$:

$s_{max}^2 = 2Rh + h^2 = h(2R+h)$

$s_{max} = \sqrt{h(2R+h)}$

Так как высота антенны $h$ много меньше радиуса Земли $R$ ($h \ll R$), то слагаемым $h$ в скобках можно пренебречь по сравнению с $2R$. Тогда формула упрощается:

$s_{max} \approx \sqrt{2Rh}$

Подставим числовые значения:

$s_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 25 \text{ м}} = \sqrt{320 \cdot 10^6} \text{ м} \approx 17888.5 \text{ м}$

Переведем результат в километры и округлим:

$s_{max} \approx 17.9 \text{ км} \approx 18 \text{ км}$

Ответ: Максимальное расстояние, на котором радиолокатор может обнаружить спасательный плот, составляет $s_{max} \approx 18$ км.

С какой частотой $n$ могут при этом испускаться импульсы?

Чтобы радиолокатор мог однозначно определить расстояние до цели, отраженный от нее радиоимпульс должен вернуться на антенну до того, как будет испущен следующий импульс. Время, за которое импульс проходит расстояние до цели и обратно, равно $t$. Общий путь импульса составляет $2s_{max}$.

$t = \frac{2s_{max}}{c}$

Период следования импульсов $T$ должен быть больше или равен этому времени:

$T \ge t$

Частота следования импульсов $n$ связана с периодом соотношением $n = \frac{1}{T}$. Следовательно, $T = \frac{1}{n}$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{1}{n} \ge \frac{2s_{max}}{c}$

Отсюда найдем максимально допустимую частоту $n$:

$n \le \frac{c}{2s_{max}}$

Подставим значения, используя $s_{max} = 18 \text{ км} = 18000$ м:

$n \le \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 18000 \text{ м}} = \frac{300000000}{36000} \text{ с}^{-1} \approx 8333.3 \text{ с}^{-1}$

Таким образом, частота испускаемых импульсов не должна превышать этого значения. Округляя в меньшую сторону, как это часто делают в подобных расчетах для обеспечения запаса, получаем $n < 8300 \text{ с}^{-1}$.

Ответ: Частота, с которой могут испускаться импульсы, должна удовлетворять условию $n < 8300 \text{ с}^{-1}$.