Номер 35.6, страница 249 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 35. Волновые свойства света. Упражнения - номер 35.6, страница 249.

Условие.

35.6. Точечный источник $\text{A}$ монохроматического света с длиной волны $\lambda = 500 \text{ нм}$ расположен на расстоянии $l = 50 \text{ см}$ от экрана, а на расстоянии $1.5l$ от экрана находится параллельное экрану плоское зеркало (см. рисунок после текста задачи). Какой вид имеет интерференционная картина на экране? Темная или светлая интерференционная полоса проходит на расстоянии $R = 2 \text{ мм}$ от точки $\text{O}$ (см. рисунок)?

Решение. Интерференционную картину на экране можно рассматривать как результат сложения световых волн от источника $\text{A}$ и его изображения $A_1$ в зеркале (см. рисунок; $A_1O = 2l$).

Следует учесть, что из-за «потери» полуволны при отражении света от зеркала источники $\text{A}$ и $A_1$ — противофазные. Интерференционная картина должна быть симметричной относительно прямой $AA_1$, поэтому на экране будут чередующиеся темные и светлые кольца с центром в точке $\text{O}$. Для произвольной точки $\text{M}$ экрана оптическая разность хода двух световых волн

$\Delta d = \frac{\lambda}{2} + A_1 M - AM = \frac{\lambda}{2} + \sqrt{4l^2 + r^2} - \sqrt{l^2 + r^2} = l + \frac{r^2}{4l}$

(мы воспользовались малостью $\text{r}$ по сравнению с $\text{l}$). Расчет показывает, что при $r = R$ разность хода $\Delta d$ составляет нечетное число полуволн. Следовательно, на расстоянии $\text{R}$ от точки $\text{O}$ находится середина темной полосы. Фактически этот результат получен в предположении, что приведенное значение $\text{l}$ является точным.

Решение.

Какой вид имеет интерференционная картина на экране?

Интерференционная картина на экране образуется в результате сложения волн от реального источника света A и его мнимого изображения A₁ в плоском зеркале. Эти два источника когерентны. Так как мнимое изображение A₁ и реальный источник A находятся на прямой, перпендикулярной экрану, интерференционная картина будет иметь осевую симметрию. Она будет представлять собой систему чередующихся светлых и темных концентрических колец с центром в точке O, которая является проекцией прямой A₁A на экран.

Ответ: Интерференционная картина на экране представляет собой систему чередующихся светлых и темных концентрических колец с центром в точке O.

Темная или светлая интерференционная полоса проходит на расстоянии R = 2 мм от точки O (см. рисунок)?

Дано:
Длина волны, $ \lambda = 500 $ нм
Расстояние от источника до экрана, $ l = 50 $ см
Радиус кольца, $ R = 2 $ мм

$ \lambda = 500 \cdot 10^{-9} $ м
$ l = 50 \cdot 10^{-2} = 0.5 $ м
$ R = 2 \cdot 10^{-3} $ м

Найти:
Тип интерференционной полосы (темная или светлая) на расстоянии R.

Решение:

Интерференционная картина создается двумя когерентными источниками: реальным источником A и его мнимым изображением A₁ в зеркале. Расстояние от источника A до экрана равно $l$. Зеркало находится на расстоянии $1.5l$ от экрана, следовательно, расстояние от источника A до зеркала составляет $1.5l - l = 0.5l$. Мнимое изображение A₁ находится на таком же расстоянии за зеркалом, то есть на расстоянии $0.5l$ от него. Таким образом, расстояние от мнимого источника A₁ до экрана составляет $1.5l + 0.5l = 2l$.

При отражении света от оптически более плотной среды (зеркала) фаза волны меняется на $ \pi $, что эквивалентно дополнительной разности хода в $ \lambda/2 $.

Рассмотрим точку M на экране на расстоянии $R$ от центра O. Оптическая разность хода $ \Delta $ для лучей, приходящих в эту точку от источников A₁ и A, равна:

$ \Delta = (A_1M - AM) + \frac{\lambda}{2} $

где $A_1M$ и $AM$ — расстояния от источников до точки M. По теореме Пифагора:

$ A_1M = \sqrt{(2l)^2 + R^2} $
$ AM = \sqrt{l^2 + R^2} $

Таким образом, разность хода:

$ \Delta = \sqrt{4l^2 + R^2} - \sqrt{l^2 + R^2} + \frac{\lambda}{2} $

Поскольку $ R \ll l $ ($2 \cdot 10^{-3} \text{ м} \ll 0.5 \text{ м}$), можно использовать приближенную формулу $ \sqrt{a^2 + x^2} \approx a + \frac{x^2}{2a} $:

$ \sqrt{4l^2 + R^2} = 2l\sqrt{1 + \frac{R^2}{4l^2}} \approx 2l(1 + \frac{R^2}{8l^2}) = 2l + \frac{R^2}{4l} $
$ \sqrt{l^2 + R^2} = l\sqrt{1 + \frac{R^2}{l^2}} \approx l(1 + \frac{R^2}{2l^2}) = l + \frac{R^2}{2l} $

Подставим эти выражения в формулу для разности хода:

$ \Delta \approx (2l + \frac{R^2}{4l}) - (l + \frac{R^2}{2l}) + \frac{\lambda}{2} = l - \frac{R^2}{4l} + \frac{\lambda}{2} $

Условие минимума (темной полосы): $ \Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda $, где m — целое число.
Условие максимума (светлой полосы): $ \Delta = m\lambda $, где m — целое число.

Найдем, какому числу длин волн кратна разность хода. Сначала проверим, является ли величина $l$ кратной целому числу длин волн:

$ \frac{l}{\lambda} = \frac{0.5}{500 \cdot 10^{-9}} = \frac{0.5}{5 \cdot 10^{-7}} = 0.1 \cdot 10^7 = 10^6 $

Так как $l$ кратно целому числу длин волн ($l = 10^6\lambda$), то в центре экрана (при R=0) разность хода $ \Delta_0 = l + \lambda/2 = (10^6 + 0.5)\lambda $, что соответствует условию минимума. В центре находится темное пятно.

Теперь найдем поправку к разности хода для точки на расстоянии R:

$ \frac{R^2}{4l} = \frac{(2 \cdot 10^{-3})^2}{4 \cdot 0.5} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{2} = 2 \cdot 10^{-6} $ м

Выразим эту величину в длинах волн:

$ \frac{R^2}{4l\lambda} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{500 \cdot 10^{-9}} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{5 \cdot 10^{-7}} = \frac{20}{5} = 4 $

Таким образом, $ \frac{R^2}{4l} = 4\lambda $.

Теперь мы можем найти полную оптическую разность хода в точке M:

$ \Delta = l - 4\lambda + \frac{\lambda}{2} = 10^6\lambda - 4\lambda + 0.5\lambda = (1000000 - 4 + 0.5)\lambda = 999996.5\lambda $

Полученное значение имеет вид $ (m + \frac{1}{2})\lambda $, где $m = 999996$. Это условие интерференционного минимума.

Ответ: На расстоянии R = 2 мм от точки O проходит темная интерференционная полоса.