Номер 139, страница 251 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 35. Волновые свойства света. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 139, страница 251.

Условие.

O39. Лучи белого света падают наклонно на тонкую прозрачную пластинку. При этом максимум отражения наблюдается в зеленой части спектра. В сторону какого конца спектра сместится максимум отражения при небольшом уменьшении угла падения лучей? При увеличении угла?

Решение. Максимум отражения наблюдается, когда световые волны, отраженные от обеих поверхностей пластинки (см. рисунок), усиливают друг друга.

Для этого оптическая разность хода $\Delta d$ пучков 1 и 2 должна быть равна целому числу $\text{k}$ длин волн: $\Delta d = \lambda/2 + n(AC + BC) - AD = k\lambda$. Слагаемое $\lambda/2$ учитывает, что при отражении пучка 1 от оптически более плотной среды фаза колебаний электромагнитного поля изменяется на противоположную, т. е. возникает такое же изменение фазы, как при прохождении пути $\lambda/2$. Множитель $\text{n}$ учитывает уменьшение скорости света в среде — на пути $\text{s}$ в среде возникает такое же изменение фазы $\Delta\Phi$, как на пути $ns$ в вакууме: $\Delta\Phi = \omega\Delta t = \omega s/v = n\omega s/c$. Используя соотношения $AC = BC = \frac{h}{\cos\beta}$, $AD = 2h \sin\alpha \operatorname{tg}\beta$, а также применяя закон преломления, получаем $(k - 1/2)\lambda = 2h\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}$.

При уменьшении угла падения $\alpha$ значение $\lambda$ увеличивается (максимум отражения смещается к красному концу спектра), а при увеличении $\alpha$ значение $\lambda$ уменьшается (максимум отражения смещается к фиолетовому концу спектра).

Решение.

Решение

Максимум отражения (усиление света) в тонкой пленке наблюдается при выполнении условия конструктивной интерференции для лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки. Оптическая разность хода $ \Delta $ между этими лучами зависит от толщины пластинки $h$, ее показателя преломления $n$ и угла падения луча $ \alpha $.

Условие для максимума отражения имеет вид:

$ \Delta = 2h\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} = (k + \frac{1}{2})\lambda $

где $ \lambda $ – длина волны света в вакууме, а $ k $ – целое число ( $ k = 0, 1, 2, ... $ ), называемое порядком интерференции. Добавка $ \frac{1}{2}\lambda $ учитывает потерю полуволны (сдвиг фазы на $ \pi $) при отражении от верхней границы пластинки (от оптически более плотной среды).

Из этой формулы можно выразить длину волны $ \lambda $, для которой наблюдается максимум отражения при заданном угле падения $ \alpha $ и порядке $ k $:

$ \lambda = \frac{2h\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{k + \frac{1}{2}} $

Проанализируем, как изменяется $ \lambda $ при изменении угла $ \alpha $.

При небольшом уменьшении угла падения лучей

Если угол падения $ \alpha $ уменьшается, то значение $ \sin\alpha $ также уменьшается (для углов в диапазоне от 0 до 90°). Следовательно, величина $ \sin^2\alpha $ уменьшается. В результате выражение под корнем $ (n^2 - \sin^2\alpha) $ увеличивается. Поскольку все остальные величины ($h, n, k$) в формуле постоянны, длина волны $ \lambda $, соответствующая максимуму отражения, увеличивается. Изначально максимум наблюдался в зеленой части спектра. Увеличение длины волны означает смещение максимума в сторону более длинных волн: к желтому, оранжевому и красному цветам.

Ответ: При уменьшении угла падения максимум отражения сместится в сторону красного конца спектра.

При увеличении угла

Если угол падения $ \alpha $ увеличивается, то значение $ \sin\alpha $ и, соответственно, $ \sin^2\alpha $ увеличиваются. Это приводит к уменьшению выражения под корнем $ (n^2 - \sin^2\alpha) $. Следовательно, длина волны $ \lambda $, соответствующая максимуму, уменьшается. Уменьшение длины волны от зеленой части спектра означает смещение в сторону более коротких волн: к голубому, синему и фиолетовому цветам.

Ответ: При увеличении угла падения максимум отражения сместится в сторону фиолетового конца спектра.