Номер 142, страница 253 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 35. Волновые свойства света. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 142, страница 253.

Условие.

O42. Кольца Ньютона. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны выпуклой стороны $R = 1$ м лежит на плоской стеклянной пластине (см. рисунок). Систему освещают сверху монохроматическим светом с длиной волны $\lambda = 500$ нм. При наблюдении сверху (в отраженном свете) видно круглое темное пятно, окруженное концентрическими светлыми и темными кольцами. Объясните это явление. Определите радиус $r_3$ третьего темного кольца.

Решение. Явление обусловлено интерференцией световых пучков, отраженных от двух поверхностей тонкой воздушной прослойки между линзой и пластиной (см. рисунок).

Отклонением пучков от вертикали можно пренебречь; оптическая разность хода лучей $\Delta d = 2h + \lambda/2$ (см. задачу О40). Из прямоугольного треугольника $ABO$ с учетом соотношения $r \ll R$ получаем $h = r^2/(2R)$. Радиус $r_k$ темного кольца с номером $\text{k}$ можно найти из условия интерференционного минимума $\Delta d = (2k + 1)\lambda/2$, т. е. $2h = k\lambda$. Отсюда $r_k = \sqrt{k\lambda R}$; в частности, $r_3 = 1,2$ мм. Темное пятно в центре, соответствующее $k = 0$, обусловлено только «потерей полуволны», т. е. изменением фазы одной из световых волн на противоположную при отражении от оптически более плотной среды.

Решение.

Объяснение явления

Наблюдаемое явление — это интерференционная картина, известная как кольца Ньютона. Она возникает из-за интерференции двух световых лучей, отраженных от двух поверхностей: от нижней сферической поверхности плоско-выпуклой линзы и от верхней плоской поверхности стеклянной пластины. Между этими поверхностями образуется тонкий воздушный зазор, толщина которого увеличивается по мере удаления от точки касания.

Падающий свет частично отражается от нижней поверхности линзы (граница стекло-воздух) и частично проходит дальше, отражаясь от верхней поверхности пластины (граница воздух-стекло). При отражении от оптически более плотной среды (от пластины) световая волна теряет половину длины волны, что эквивалентно сдвигу фазы на $ \pi $. Отражение от менее плотной среды (от нижней поверхности линзы) происходит без изменения фазы.

В результате, оптическая разность хода $ \Delta $ между двумя отраженными лучами складывается из удвоенной толщины воздушного зазора $2h$ (путь туда и обратно) и дополнительной разности хода $ \lambda/2 $ из-за потери полуволны:

$ \Delta = 2h + \frac{\lambda}{2} $

Темные кольца (интерференционные минимумы) появляются там, где лучи гасят друг друга. Условие минимума интерференции:

$ \Delta = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} $, где $k = 0, 1, 2, ...$ — порядок минимума.

Подставляя выражение для $ \Delta $, получаем условие для темных колец:

$ 2h + \frac{\lambda}{2} = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} $

$ 2h = k\lambda $

В центре, в точке касания, толщина зазора $h = 0$, что соответствует $k=0$. Поэтому в отраженном свете наблюдается темное пятно.

Определение радиуса третьего темного кольца

Дано:
Радиус кривизны линзы $R = 1$ м
Длина волны света $ \lambda = 500 $ нм
Порядок темного кольца $k = 3$

$R = 1$ м
$ \lambda = 500 \text{ нм} = 500 \times 10^{-9} \text{ м} = 5 \times 10^{-7} \text{ м} $

Найти:
Радиус третьего темного кольца $r_3$.

Решение:

Для нахождения радиуса темного кольца необходимо связать толщину воздушного зазора $h$ с радиусом кольца $r_k$. Из геометрии сферической поверхности линзы при условии $r_k \ll R$ можно получить соотношение:

$ h = \frac{r_k^2}{2R} $

Как было показано ранее, условие для образования $k$-го темного кольца в отраженном свете имеет вид:

$ 2h = k\lambda $

Подставим выражение для $h$ в условие минимума:

$ 2 \left( \frac{r_k^2}{2R} \right) = k\lambda $

$ \frac{r_k^2}{R} = k\lambda $

Отсюда выразим радиус $k$-го темного кольца:

$ r_k = \sqrt{k\lambda R} $

Теперь рассчитаем радиус третьего темного кольца, подставив $k=3$ и заданные значения:

$ r_3 = \sqrt{3 \times 5 \times 10^{-7} \text{ м} \times 1 \text{ м}} $

$ r_3 = \sqrt{15 \times 10^{-7} \text{ м}^2} = \sqrt{1.5 \times 10^{-6} \text{ м}^2} $

$ r_3 \approx 1.225 \times 10^{-3} \text{ м} $

Переведем результат в миллиметры:

$ r_3 \approx 1.225 \text{ мм} $

Округляя до двух значащих цифр, получаем $1.2$ мм.

Ответ: радиус третьего темного кольца равен $ r_3 \approx 1.2 \text{ мм} $.