Номер 37.2, страница 257 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электромагнитные колебания и волны. 37. Геометрическая оптика. Упражнения - номер 37.2, страница 257.

Условие.

37.2. Луч света направлен из воды в воздух так, что происходит полное отражение на границе вода—воздух. Сможет ли этот луч выйти в воздух, если на поверхность воды налить слой прозрачного масла, показатель преломления которого превышает показатель преломления воды?

Решение. После преломления на границе вода—масло луч падает на границу масло—воздух под углом $\beta$, меньшим $\alpha$ (см. рисунок). Но ведь и предельный угол полного отражения у масла меньше, чем у воды! Из закона преломления следует, что $sin\beta = n_в sin\alpha / n_м$. По условию $sin\alpha > 1/n_в$; следовательно, $sin\beta > 1/n_м$, т. е. выйти из масла в воздух луч все-таки не сможет.

Решение.

Дано:

Луч света распространяется из воды в воздух.

На границе вода-воздух происходит полное внутреннее отражение (ПВО).

Показатель преломления масла $n_{м}$ больше показателя преломления воды $n_{в}$, то есть $n_{м} > n_{в}$.

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$.

Угол падения луча на границу вода-воздух (а затем на границу вода-масло) равен $\alpha$.

Найти:

Сможет ли луч выйти в воздух, если на поверхность воды налить слой масла?

Решение:

1. Рассмотрим начальное условие: полное внутреннее отражение (ПВО) на границе вода-воздух. ПВО возникает, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную, и угол падения превышает некоторый предельный угол $\alpha_{пред}$.

Предельный угол для границы вода-воздух находится из закона преломления Снеллиуса:

$n_{в} \sin(\alpha_{пред}) = n_{воздуха} \sin(90^\circ)$

Поскольку $n_{воздуха} \approx 1$, получаем:

$\sin(\alpha_{пред}) = \frac{1}{n_{в}}$

По условию задачи, на границе вода-воздух происходит ПВО, следовательно, угол падения $\alpha$ больше предельного угла $\alpha_{пред}$:

$\alpha > \alpha_{пред}$ или $\sin(\alpha) > \frac{1}{n_{в}}$

2. Теперь рассмотрим случай, когда на воду налит слой масла. Луч света сначала попадает на границу вода-масло под тем же углом $\alpha$. По условию $n_{м} > n_{в}$, то есть свет переходит из оптически менее плотной среды (вода) в более плотную (масло). В этом случае ПВО невозможно, и луч преломляется, входя в слой масла.

Применим закон Снеллиуса для границы вода-масло, где $\beta$ — угол преломления в масле:

$n_{в} \sin(\alpha) = n_{м} \sin(\beta)$

Отсюда можно выразить синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{n_{в}}{n_{м}} \sin(\alpha)$

3. Преломленный луч движется в масле и падает на границу масло-воздух. Так как границы раздела сред параллельны, угол падения на границу масло-воздух будет равен углу преломления на границе вода-масло, то есть $\beta$.

Чтобы луч вышел из масла в воздух, на этой границе не должно быть ПВО. Проверим условие для ПВО на границе масло-воздух. Предельный угол $\beta_{пред}$ для этой границы определяется как:

$n_{м} \sin(\beta_{пред}) = n_{воздуха} \sin(90^\circ)$

$\sin(\beta_{пред}) = \frac{1}{n_{м}}$

ПВО произойдет, если угол падения $\beta$ будет больше предельного угла $\beta_{пред}$, то есть если $\sin(\beta) > \frac{1}{n_{м}}$.

4. Подставим в это неравенство выражение для $\sin(\beta)$ из пункта 2 и используем начальное условие из пункта 1:

Мы знаем, что $\sin(\beta) = \frac{n_{в}}{n_{м}} \sin(\alpha)$ и $\sin(\alpha) > \frac{1}{n_{в}}$.

Следовательно:

$\sin(\beta) > \frac{n_{в}}{n_{м}} \cdot \frac{1}{n_{в}}$

$\sin(\beta) > \frac{1}{n_{м}}$

Таким образом, мы получили, что синус угла падения на границу масло-воздух ($\sin(\beta)$) больше синуса предельного угла для этой границы ($\sin(\beta_{пред}) = \frac{1}{n_{м}}$). Это означает, что на границе масло-воздух также произойдет полное внутреннее отражение.

Вывод: луч света не сможет выйти из масла в воздух.

Ответ:

Нет, луч не сможет выйти в воздух. Он испытает полное внутреннее отражение на границе масло-воздух.