Номер 140, страница 252 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 35. Волновые свойства света. Электромагнитные колебания и волны. Электродинамика - номер 140, страница 252.

Условие.

O40. Белый свет падает нормально на поверхность мыльной пленки с показателем преломления $n = 1,33$. Отраженный свет пропускают через светофильтр с узкой полосой пропускания. Используя поочередно различные светофильтры, наблюдают зависимость коэффициента отражения света от длины волны: при $\lambda_1 = 630 \text{ нм}$ — максимум, а при $\lambda_2 = 525 \text{ нм}$ — ближайший к нему минимум. Какова толщина пленки $\text{d}$?

☑ $d = 590 \text{ нм}$.

Решение. Условия интерференционных максимума и минимума отражения имеют вид $(k - 1/2)\lambda_1 = 2dn$ (см. задачу 040) и $k\lambda_2 = 2dn$. Из этих уравнений находим $k = \frac{\lambda_1}{2(\lambda_1 - \lambda_2)} = 3, d = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{4n(\lambda_1 - \lambda_2)} = 590 \text{ (нм)}$. Обратите внимание, что если бы значение $\text{k}$ не было целым, задача не имела бы решения (хотя полученные значения $\text{k}$ и $\text{d}$ удовлетворяли бы написанной системе уравнений).

Решение.

Дано:

Показатель преломления мыльной пленки, $n = 1.33$

Длина волны, для которой наблюдается максимум отражения, $λ_1 = 630$ нм

Длина волны, для которой наблюдается ближайший минимум отражения, $λ_2 = 525$ нм

Свет падает нормально на поверхность пленки (угол падения $θ = 0°$).

Перевод в СИ:

$λ_1 = 630 \cdot 10^{-9}$ м

$λ_2 = 525 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Толщина пленки $d$ - ?

Решение:

При падении света на тонкую пленку происходит интерференция двух лучей: луча, отраженного от передней поверхности пленки, и луча, отраженного от задней поверхности. Так как свет переходит из оптически менее плотной среды (воздух, $n_{возд} \approx 1$) в более плотную (пленка, $n=1.33$), то при отражении от передней поверхности фаза волны меняется на $π$ (происходит потеря полуволны). При отражении от задней поверхности (переход из пленки в воздух, $n > n_{возд}$) изменения фазы не происходит.

С учетом этого, условия интерференции для отраженного света при нормальном падении имеют вид:

Условие максимума (усиления) света:

$2dn = (m + \frac{1}{2})λ$, где $m = 0, 1, 2, ...$ - порядок максимума.

Условие минимума (ослабления) света:

$2dn = kλ$, где $k = 1, 2, 3, ...$ - порядок минимума.

Согласно условию задачи, для длины волны $λ_1 = 630$ нм наблюдается максимум, а для $λ_2 = 525$ нм — ближайший к нему минимум. Запишем систему уравнений:

$2dn = (m + \frac{1}{2})λ_1$ (1)

$2dn = kλ_2$ (2)

Так как оптическая разность хода $2dn$ для пленки постоянна, мы можем приравнять правые части уравнений:

$(m + \frac{1}{2})λ_1 = kλ_2$

Условие "ближайший" минимум означает, что порядки интерференции $m$ и $k$ должны быть связаны. Поскольку $λ_1 > λ_2$, для одной и той же толщины $d$ порядок минимума $k$ будет больше, чем порядок максимума $m$. Ближайший минимум соответствует случаю, когда $k = m+1$.

Подставим $m = k-1$ в наше уравнение:

$(k - 1 + \frac{1}{2})λ_1 = kλ_2$

$(k - \frac{1}{2})λ_1 = kλ_2$

Раскроем скобки и найдем порядок $k$:

$kλ_1 - \frac{1}{2}λ_1 = kλ_2$

$kλ_1 - kλ_2 = \frac{1}{2}λ_1$

$k(λ_1 - λ_2) = \frac{λ_1}{2}$

$k = \frac{λ_1}{2(λ_1 - λ_2)}$

Подставим числовые значения длин волн:

$k = \frac{630}{2(630 - 525)} = \frac{630}{2 \cdot 105} = \frac{630}{210} = 3$

Порядок минимума $k=3$. Так как $k$ — целое число, наше предположение о связи порядков было верным.

Теперь, зная порядок $k$, мы можем найти толщину пленки $d$ из уравнения (2):

$2dn = kλ_2$

$d = \frac{kλ_2}{2n}$

Подставим известные значения:

$d = \frac{3 \cdot 525 \text{ нм}}{2 \cdot 1.33} = \frac{1575 \text{ нм}}{2.66} \approx 592.1$ нм

Ответ: $d \approx 592.1$ нм.