Номер 6, страница 372 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Дополнительная глава. Элементы статики. Условия равновесия тела - номер 6, страница 372.

Условие.

6. Фонарь подвешен на тросах, как показано на рисунке. Каковы силы натяжения тросов 1, 2 и 3, если масса фонаря 10 кг, а угол $\alpha = 60^\circ$?

Решение.

Дано:

масса фонаря, $m = 10 \text{ кг}$

угол, $\alpha = 60°$

ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Найти:

силы натяжения тросов $T_1, T_2, T_3$

Решение:

Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок, будем исходить из наиболее распространенной схемы подвеса: фонарь висит на вертикальном тросе 3, который крепится в точке, где сходятся два других троса (1 и 2). Тросы 1 и 2 симметрично расходятся вверх, образуя угол $\alpha = 60°$ с горизонтальной линией. Вся система находится в состоянии статического равновесия.

Сначала найдем силу натяжения троса 3 ($T_3$).

Рассмотрим равновесие фонаря. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = m \cdot g$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения троса 3 ($T_3$), направленная вертикально вверх.

Согласно первому закону Ньютона, для тела в равновесии сумма всех сил равна нулю. Запишем это условие в проекции на вертикальную ось:

$T_3 - F_g = 0$

Следовательно, сила натяжения троса 3 равна по модулю силе тяжести, действующей на фонарь:

$T_3 = m \cdot g = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 100 \text{ Н}$

Теперь найдем силы натяжения тросов 1 ($T_1$) и 2 ($T_2$).

Рассмотрим равновесие точки схождения всех трех тросов. На эту точку действуют три силы: $\vec{T_1}$, $\vec{T_2}$ и $\vec{T_3}$. Сила $\vec{T_3}$ направлена вертикально вниз. Введем систему координат с началом в точке схождения тросов, осью OX, направленной горизонтально, и осью OY, направленной вертикально.

Запишем условие равновесия для этой точки в проекциях на оси координат. Сумма проекций всех сил на каждую ось равна нулю:

$\sum F_x = T_{2x} - T_{1x} = 0$

$\sum F_y = T_{1y} + T_{2y} - T_3 = 0$

Проекции сил $T_1$ и $T_2$ на оси выражаются через полные силы натяжения и угол $\alpha$:

$T_{1x} = T_1 \cos\alpha$

$T_{1y} = T_1 \sin\alpha$

$T_{2x} = T_2 \cos\alpha$

$T_{2y} = T_2 \sin\alpha$

Подставим выражения для проекций в уравнения равновесия:

На ось OX: $T_2 \cos\alpha - T_1 \cos\alpha = 0$. Поскольку $\alpha = 60°$, $\cos\alpha \neq 0$, следовательно, $T_1 = T_2$. Это также следует из симметрии задачи.

На ось OY: $T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\alpha - T_3 = 0$.

Заменим $T_2$ на $T_1$:

$T_1 \sin\alpha + T_1 \sin\alpha - T_3 = 0 \implies 2 T_1 \sin\alpha = T_3$

Выразим $T_1$ из этого уравнения:

$T_1 = \frac{T_3}{2 \sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = \frac{100 \text{ Н}}{2 \sin(60°)} = \frac{100 \text{ Н}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{100}{\sqrt{3}} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение:

$T_1 = \frac{100\sqrt{3}}{3} \text{ Н} \approx \frac{100 \cdot 1.732}{3} \approx 57.7 \text{ Н}$

Так как $T_1 = T_2$, то $T_2 \approx 57.7 \text{ Н}$.

Ответ: сила натяжения троса 1 составляет $T_1 \approx 57.7 \text{ Н}$, сила натяжения троса 2 — $T_2 \approx 57.7 \text{ Н}$, сила натяжения троса 3 — $T_3 = 100 \text{ Н}$.