Номер 6, страница 377 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Дополнительная глава. Элементы статики. Центр тяжести. Устойчивость равновесия - номер 6, страница 377.

Условие.

6. Докажите, что центр тяжести однородного центрально-симметричного тела совпадает с его геометрическим центром симметрии.

Решение.

6. Решение
По определению, радиус-вектор центра тяжести $ \vec{r}_{цт} $ твердого тела определяется формулой:
$ \vec{r}_{цт} = \frac{\int_{V} \vec{r} \, dm}{\int_{V} dm} $, где $ dm $ — элемент массы, $ \vec{r} $ — радиус-вектор этого элемента, а интегрирование проводится по всему объему тела $ V $.
Поскольку тело однородное, его плотность $ \rho $ постоянна. Тогда элемент массы можно выразить через элемент объема $ dV $: $ dm = \rho \, dV $.
Подставим это в формулу для центра тяжести:
$ \vec{r}_{цт} = \frac{\int_{V} \vec{r} \rho \, dV}{\int_{V} \rho \, dV} = \frac{\rho \int_{V} \vec{r} \, dV}{\rho \int_{V} dV} = \frac{\int_{V} \vec{r} \, dV}{V} $, где $ V $ — полный объем тела.
Теперь воспользуемся тем, что тело центрально-симметричное. Это означает, что у него есть геометрический центр симметрии, назовем его точкой $ C $. Если поместить начало системы координат в этот центр $ C $, то для любой точки тела с радиус-вектором $ \vec{r} $ в теле будет существовать и симметричная ей точка с радиус-вектором $ -\vec{r} $.
Рассмотрим интеграл в числителе: $ \int_{V} \vec{r} \, dV $. Разобьем все тело на пары бесконечно малых объемов $ dV $, расположенных в точках, симметричных относительно центра симметрии $ C $. Для каждого элементарного объема $ dV $ с радиус-вектором $ \vec{r} $ найдется симметричный ему элементарный объем $ dV' $ (равный $ dV $) с радиус-вектором $ -\vec{r} $.
Сумма вкладов от такой пары в общий интеграл будет равна:
$ \vec{r} \, dV + (-\vec{r}) \, dV' = \vec{r} \, dV - \vec{r} \, dV = \vec{0} $.
Поскольку все тело можно разбить на такие симметричные пары, то весь интеграл будет равен нулю:
$ \int_{V} \vec{r} \, dV = \vec{0} $.
Тогда радиус-вектор центра тяжести равен:
$ \vec{r}_{цт} = \frac{\vec{0}}{V} = \vec{0} $.
Так как мы поместили начало координат в геометрический центр симметрии $ C $, а радиус-вектор центра тяжести оказался равен нулю, это означает, что центр тяжести совпадает с центром симметрии. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что центр тяжести однородного центрально-симметричного тела совпадает с его геометрическим центром симметрии, так как из-за симметрии интеграл $ \int_{V} \vec{r} \, dV $, определяющий положение центра масс относительно центра симметрии, обращается в ноль.