Номер 7, страница 372 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Дополнительная глава. Элементы статики. Условия равновесия тела - номер 7, страница 372.

Условие.

7. Лёгкий стержень длиной 1 м подвешен на двух тросах так, что точки крепления тросов находятся на расстоянии 10 и 20 см от концов стержня. К середине стержня подвешен груз массой 21 кг. Каковы силы натяжения тросов?

Решение.

Дано:

Длина стержня $L = 1 \text{ м}$
Расстояние от первого конца до точки крепления первого троса $d_1 = 10 \text{ см}$
Расстояние от второго конца до точки крепления второго троса $d_2 = 20 \text{ см}$
Масса груза $m = 21 \text{ кг}$
Стержень считать легким (невесомым).
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$d_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$d_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Силы натяжения тросов $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Поскольку стержень находится в состоянии покоя, он находится в статическом равновесии. Это означает, что должны выполняться два условия равновесия:

1. Сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси вращения равна нулю.

На стержень действуют три вертикальные силы: сила натяжения первого троса $T_1$ (направлена вверх), сила натяжения второго троса $T_2$ (направлена вверх) и сила тяжести подвешенного груза $F_g = m \cdot g$ (направлена вниз).

Применим первое условие равновесия. Спроецируем все силы на вертикальную ось (направленную вверх):
$\sum F_y = T_1 + T_2 - F_g = 0$
Отсюда получаем первое уравнение:
$T_1 + T_2 = m \cdot g$

Применим второе условие равновесия (правило моментов). Для этого выберем ось вращения. Удобнее всего выбрать ее в точке приложения одной из неизвестных сил, например, в точке крепления первого троса. Пусть левый конец стержня имеет координату 0.

Тогда точка крепления первого троса (наша ось вращения) находится на расстоянии $x_1 = d_1 = 0.1 \text{ м}$ от левого конца.
Точка крепления второго троса находится на расстоянии $x_2 = L - d_2 = 1 \text{ м} - 0.2 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$ от левого конца.
Груз подвешен к середине стержня, то есть в точке $x_g = L/2 = 0.5 \text{ м}$ от левого конца.

Теперь запишем уравнение моментов относительно точки крепления первого троса. Момент силы $T_1$ равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.
Сила тяжести $F_g$ приложена на расстоянии (плечо) $l_g = x_g - x_1 = 0.5 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.4 \text{ м}$ от оси и создает вращающий момент по часовой стрелке.
Сила натяжения $T_2$ приложена на расстоянии (плечо) $l_2 = x_2 - x_1 = 0.8 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.7 \text{ м}$ от оси и создает вращающий момент против часовой стрелки.
Считая момент против часовой стрелки положительным, получаем:
$\sum M = T_2 \cdot l_2 - F_g \cdot l_g = 0$
$T_2 \cdot 0.7 - (m \cdot g) \cdot 0.4 = 0$

Из этого уравнения выразим и вычислим силу натяжения $T_2$:
$T_2 = \frac{0.4 \cdot m \cdot g}{0.7} = \frac{4}{7} m \cdot g$
$T_2 = \frac{4}{7} \cdot 21 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 4 \cdot 3 \cdot 9.8 \text{ Н} = 12 \cdot 9.8 \text{ Н} = 117.6 \text{ Н}$.

Теперь, зная $T_2$, найдем $T_1$ из первого уравнения ($T_1 + T_2 = m \cdot g$):
$T_1 = m \cdot g - T_2$
$T_1 = (21 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2) - 117.6 \text{ Н} = 205.8 \text{ Н} - 117.6 \text{ Н} = 88.2 \text{ Н}$.

Ответ: сила натяжения троса, прикрепленного на расстоянии 10 см от конца, равна 88.2 Н; сила натяжения троса, прикрепленного на расстоянии 20 см от другого конца, равна 117.6 Н.