Номер 7, страница 377 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Дополнительная глава. Элементы статики. Центр тяжести. Устойчивость равновесия - номер 7, страница 377.

Условие.

7. Докажите, что центр тяжести системы из двух материальных точек массой $m_1$ и $m_2$ находится в точке, которая делит расстояние между материальными точками в соотношении, обратно пропорциональном значениям массы: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$.

Решение.

Дано:

Система из двух материальных точек с массами $m_1$ и $m_2$.

$l_1$ – расстояние от точки с массой $m_1$ до центра тяжести системы.

$l_2$ – расстояние от точки с массой $m_2$ до центра тяжести системы.

Доказать:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Решение:

Центр тяжести системы тел — это точка приложения равнодействующей сил тяжести, действующих на все тела системы. Для того чтобы система находилась в равновесии, если ее подвесить в этой точке, суммарный момент сил тяжести относительно этой точки должен быть равен нулю.

Рассмотрим систему из двух материальных точек, соединенных невесомым стержнем. На эти точки действуют силы тяжести $F_1 = m_1g$ и $F_2 = m_2g$, где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Пусть центр тяжести (точка О) является точкой опоры. Тогда плечи сил $F_1$ и $F_2$ относительно этой точки равны $l_1$ и $l_2$ соответственно.

По правилу моментов, для того чтобы система находилась в равновесии, моменты сил, вращающие систему по часовой стрелке и против часовой стрелки, должны быть равны по величине:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ и $M_2$ — моменты сил $F_1$ и $F_2$.

Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо. Таким образом:

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

Подставим выражения для сил тяжести:

$m_1g \cdot l_1 = m_2g \cdot l_2$

Поскольку ускорение свободного падения $\text{g}$ одинаково для обеих точек, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Чтобы получить требуемое соотношение, преобразуем полученное равенство. Разделим обе части на $l_2$ и на $m_1$:

$\frac{m_1 l_1}{l_2 m_1} = \frac{m_2 l_2}{l_2 m_1}$

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Таким образом, мы доказали, что центр тяжести системы из двух материальных точек делит расстояние между ними в соотношении, обратно пропорциональном их массам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $\frac{l_1}{l_2} = \frac{m_2}{m_1}$ доказано на основе правила моментов, согласно которому для равновесия системы в точке центра тяжести моменты сил $M_1 = m_1g l_1$ и $M_2 = m_2g l_2$ должны быть равны.