Номер 4, страница 269 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 47. Теплоёмкость тела. Удельная и молярная теплоёмкости вещества. Глава 7. Основы молекулярно-кинетической теории и термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 4, страница 269.

Условие.

4. В теплоизолированном сосуде находилось $v_1 = 5$ моль неона температурой $t_1 = 0 \text{ °C}$. К нему добавили $v_2 = 2$ моль кислорода температурой $t_2 = 20 \text{ °C}$. Определите температуру смеси после установления теплового равновесия. Теплоёмкость сосуда считайте равной нулю. Молярную теплоёмкость неона считайте равной $c_{M \text{н}} = 12,5 \text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{ К})$, а молярную теплоёмкость кислорода — $c_{M \text{к}} = 21 \text{ Дж}/(\text{моль} \cdot \text{ К})$.

Решение.

Дано:

$v_1 = 5$ моль (неон)

$t_1 = 0$ °C

$c_{М_н} = 12,5$ Дж/(моль·К)

$v_2 = 2$ моль (кислород)

$t_2 = 20$ °C

$c_{М_к} = 21$ Дж/(моль·К)

Для решения задачи можно использовать температуры в градусах Цельсия, так как в уравнение теплового баланса входят разности температур, которые численно одинаковы в шкалах Цельсия и Кельвина. Однако, для строгого соответствия системе СИ, переведем начальные температуры в Кельвины:

$T_1 = t_1 + 273,15 = 0 + 273,15 = 273,15$ К

$T_2 = t_2 + 273,15 = 20 + 273,15 = 293,15$ К

Найти:

$\theta$ - ?

Решение:

Система, состоящая из неона и кислорода, находится в теплоизолированном сосуде, теплоемкость которого пренебрежимо мала. Это означает, что газы обмениваются теплотой только между собой, а суммарное количество теплоты в системе сохраняется. При установлении теплового равновесия более холодный газ (неон) получит количество теплоты $Q_1$, а более горячий газ (кислород) отдаст количество теплоты $Q_2$. По закону сохранения энергии, количество полученной теплоты равно количеству отданной, или, в алгебраической форме, сумма теплот равна нулю.

Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_1 + Q_2 = 0$

Количество теплоты, полученное или отданное газом, определяется формулой:

$Q = v \cdot c_M \cdot \Delta T$, где $v$ - количество вещества, $c_M$ - молярная теплоемкость, $\Delta T$ - изменение температуры.

Пусть $T$ - конечная температура смеси в Кельвинах.

Тогда количество теплоты, полученное неоном:

$Q_1 = v_1 \cdot c_{М_н} \cdot (T - T_1)$

Количество теплоты, полученное кислородом (эта величина будет отрицательной, так как кислород остывает):

$Q_2 = v_2 \cdot c_{М_к} \cdot (T - T_2)$

Подставим эти выражения в уравнение теплового баланса:

$v_1 \cdot c_{М_н} \cdot (T - T_1) + v_2 \cdot c_{М_к} \cdot (T - T_2) = 0$

Раскроем скобки и выразим конечную температуру $T$:

$v_1 c_{М_н} T - v_1 c_{М_н} T_1 + v_2 c_{М_к} T - v_2 c_{М_к} T_2 = 0$

$T(v_1 c_{М_н} + v_2 c_{М_к}) = v_1 c_{М_н} T_1 + v_2 c_{М_к} T_2$

$T = \frac{v_1 c_{М_н} T_1 + v_2 c_{М_к} T_2}{v_1 c_{М_н} + v_2 c_{М_к}}$

Поскольку изменение температуры в Кельвинах и градусах Цельсия одинаково $(\Delta T = \Delta t)$, мы можем провести аналогичные вычисления, используя градусы Цельсия, чтобы сразу найти конечную температуру $\theta$ в °C. Формула будет выглядеть так:

$\theta = \frac{v_1 c_{М_н} t_1 + v_2 c_{М_к} t_2}{v_1 c_{М_н} + v_2 c_{М_к}}$

Подставим числовые значения в эту формулу:

$\theta = \frac{5 \text{ моль} \cdot 12,5 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 0 \text{ °C} + 2 \text{ моль} \cdot 21 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 20 \text{ °C}}{5 \text{ моль} \cdot 12,5 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} + 2 \text{ моль} \cdot 21 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}}$

$\theta = \frac{0 + 840}{62,5 + 42} = \frac{840}{104,5}$

$\theta \approx 8,04$ °C

Ответ: температура смеси после установления теплового равновесия составит примерно $8,04$ °C.