Номер 3, страница 383 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 69. Сложение электрических сил. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 3, страница 383.

Условие.

3. Определите модуль и направление силы $\vec{F}_3$, действующей на точечный заряд $q_3 = 25$ мкКл со стороны зарядов $q_1 = -10$ мкКл и $q_2 = 9$ мкКл, расположенных в вершинах прямоугольного треугольника так, как показано на рис. 266. Длина стороны $a$ равна 3 см, а длина стороны $b = 4$ см.

Рис. 266

Решение.

Дано:

$q_1 = -10$ мкКл
$q_2 = 9$ мкКл
$q_3 = 25$ мкКл
$a = 3$ см
$b = 4$ см
$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:
$q_1 = -10 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_2 = 9 \cdot 10^{-6}$ Кл
$q_3 = 25 \cdot 10^{-6}$ Кл
$a = 0.03$ м
$b = 0.04$ м

Найти:

Модуль $|\vec{F}_3|$ и направление результирующей силы, действующей на заряд $q_3$.

Решение:

На заряд $q_3$ действуют две силы: сила $\vec{F}_{13}$ со стороны заряда $q_1$ и сила $\vec{F}_{23}$ со стороны заряда $q_2$. Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила $\vec{F}_3$ равна векторной сумме этих сил:

$\vec{F}_3 = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}$

Для нахождения векторной суммы введем прямоугольную систему координат. Поместим заряд $q_3$ в начало координат (0, 0). Направим ось OX горизонтально вправо (вдоль стороны b), а ось OY вертикально вверх (вдоль стороны a). В этой системе координаты зарядов будут:

$q_3$: (0, 0)

$q_2$: (0, a)

$q_1$: (b, a)

1. Определим силу $\vec{F}_{23}$, действующую на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_2$.

Заряды $q_2$ и $q_3$ оба положительные, поэтому они отталкиваются. Сила $\vec{F}_{23}$ направлена от заряда $q_2$ вдоль прямой, их соединяющей, то есть вертикально вниз (вдоль отрицательного направления оси OY).

Расстояние между зарядами $q_2$ и $q_3$ равно $r_{23} = a = 0.03$ м.

Модуль силы $F_{23}$ по закону Кулона:

$F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{a^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|(9 \cdot 10^{-6}) \cdot (25 \cdot 10^{-6})|}{(0.03)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{225 \cdot 10^{-12}}{9 \cdot 10^{-4}} = 2250$ Н.

Вектор силы: $\vec{F}_{23} = (0; -2250)$ Н.

2. Определим силу $\vec{F}_{13}$, действующую на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$.

Заряды $q_1$ (отрицательный) и $q_3$ (положительный) разноименные, поэтому они притягиваются. Сила $\vec{F}_{13}$ направлена от заряда $q_3$ к заряду $q_1$ вдоль диагонали прямоугольника.

Расстояние $r_{13}$ между зарядами $q_1$ и $q_3$ найдем по теореме Пифагора:

$r_{13} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(0.03)^2 + (0.04)^2} = \sqrt{0.0009 + 0.0016} = \sqrt{0.0025} = 0.05$ м.

Модуль силы $F_{13}$ по закону Кулона:

$F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{|(-10 \cdot 10^{-6}) \cdot (25 \cdot 10^{-6})|}{(0.05)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{250 \cdot 10^{-12}}{25 \cdot 10^{-4}} = 900$ Н.

Найдем проекции силы $\vec{F}_{13}$ на оси координат. Пусть $\alpha$ — угол, который вектор $\vec{F}_{13}$ образует с осью OX. Косинус и синус этого угла равны:

$\cos\alpha = \frac{b}{r_{13}} = \frac{0.04}{0.05} = 0.8$

$\sin\alpha = \frac{a}{r_{13}} = \frac{0.03}{0.05} = 0.6$

Проекции силы на оси:

$F_{13x} = F_{13} \cos\alpha = 900 \cdot 0.8 = 720$ Н.

$F_{13y} = F_{13} \sin\alpha = 900 \cdot 0.6 = 540$ Н.

Вектор силы: $\vec{F}_{13} = (720; 540)$ Н.

3. Найдем результирующую силу $\vec{F}_3$, сложив векторы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ покомпонентно:

$F_{3x} = F_{13x} + F_{23x} = 720 + 0 = 720$ Н.

$F_{3y} = F_{13y} + F_{23y} = 540 + (-2250) = -1710$ Н.

Таким образом, вектор результирующей силы $\vec{F}_3 = (720; -1710)$ Н.

Модуль результирующей силы найдем по теореме Пифагора:

$|\vec{F}_3| = \sqrt{F_{3x}^2 + F_{3y}^2} = \sqrt{720^2 + (-1710)^2} = \sqrt{518400 + 2924100} = \sqrt{3442500} \approx 1855.4$ Н.

Направление результирующей силы определим через угол $\beta$, который вектор $\vec{F}_3$ образует с положительным направлением оси OX (со стороной b):

$\tan\beta = \frac{F_{3y}}{F_{3x}} = \frac{-1710}{720} = -\frac{171}{72} = -\frac{19}{8} = -2.375$

$\beta = \arctan(-2.375) \approx -67.2^\circ$

Знак "минус" означает, что угол отсчитывается от оси OX по часовой стрелке. Таким образом, сила направлена под углом $67.2^\circ$ вниз от направления стороны b.

Ответ: Модуль силы равен примерно 1855 Н. Сила направлена под углом $67.2^\circ$ к стороне $b$ (вниз от этой стороны).