Номер 1, страница 383 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 69. Сложение электрических сил. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 1, страница 383.

Условие.

1. Определите, какой точечный заряд $Q$ нужно поместить в центре треугольника (точку $O$) из задачи 1 этого параграфа, чтобы сумма сил, действующих на каждый из зарядов $q$, была равна нулю. Будет ли это равновесие устойчивым?

Решение.

Для решения задачи предположим, что в задаче 1, на которую ссылается условие, три одинаковых точечных заряда $q$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$.

Дано:
Заряды в вершинах треугольника: $q_1 = q_2 = q_3 = q$
Сторона треугольника: $a$
Заряд в центре треугольника: $Q$
Условие равновесия: $\vec{F}_{net} = 0$ для каждого из зарядов $q$

Найти:
1. Величину заряда $Q$.
2. Устойчивость равновесия.

Решение:

1. Определение величины заряда Q
Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов $q$, расположенный в вершине A треугольника. На него действуют силы кулоновского отталкивания от двух других зарядов $q$ (в вершинах B и C) и сила со стороны центрального заряда $Q$.

Силы, действующие со стороны зарядов в вершинах B и C, равны по модулю: $F_1 = F_2 = k \frac{q^2}{a^2}$ где $k$ — электростатическая постоянная. Угол между векторами этих сил равен $60^\circ$.

Результирующая этих двух сил $\vec{F}_{q+q}$ направлена вдоль биссектрисы угла, то есть вдоль линии, соединяющей вершину A с центром треугольника O, в сторону от центра. Ее модуль находится по правилу параллелограмма: $|\vec{F}_{q+q}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(60^\circ)} = \sqrt{(k\frac{q^2}{a^2})^2 + (k\frac{q^2}{a^2})^2 + 2(k\frac{q^2}{a^2})^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3(k\frac{q^2}{a^2})^2} = k \frac{q^2\sqrt{3}}{a^2}$

Для того чтобы заряд $q$ в вершине A находился в равновесии, сила $\vec{F}_Q$, действующая на него со стороны заряда $Q$, должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе $\vec{F}_{q+q}$. $\vec{F}_Q + \vec{F}_{q+q} = 0 \implies |\vec{F}_Q| = |\vec{F}_{q+q}|$

Сила $\vec{F}_Q$ должна быть направлена к центру треугольника, следовательно, она является силой притяжения. Это возможно, если знаки зарядов $q$ и $Q$ противоположны.

Расстояние $r$ от центра равностороннего треугольника до его вершины вычисляется как $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Модуль силы со стороны заряда $Q$: $|\vec{F}_Q| = k \frac{|q||Q|}{r^2} = k \frac{|q||Q|}{(a/\sqrt{3})^2} = 3k \frac{|q||Q|}{a^2}$

Приравнивая модули сил: $3k \frac{|q||Q|}{a^2} = k \frac{q^2\sqrt{3}}{a^2}$ $3|Q| = |q|\sqrt{3}$ $|Q| = \frac{|q|}{\sqrt{3}}$

Учитывая, что знаки зарядов противоположны, получаем искомый заряд $Q$: $Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}$

Ответ: Чтобы сумма сил, действующих на каждый из зарядов $q$, была равна нулю, в центр треугольника нужно поместить точечный заряд $Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}$.

2. Определение устойчивости равновесия
Равновесие системы является устойчивым, если при малом смещении любой ее части из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение.

Согласно теореме Ирншоу, никакая система точечных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия под действием только электростатических сил. Таким образом, данное равновесие не может быть устойчивым.

Продемонстрируем это на примере. Рассмотрим небольшое смещение $z$ одного из зарядов $q$ перпендикулярно плоскости треугольника.

На смещенный заряд будут действовать две вертикальные силы:
1. Результирующая сил отталкивания от двух других зарядов $q$. Эта сила будет возвращающей, то есть направленной обратно к плоскости треугольника. Для малых $z$ ее модуль примерно равен $F_{z,q} \approx \frac{2kq^2}{a^3}z$.
2. Сила притяжения к центральному заряду $Q$. Эта сила будет направлена от плоскости треугольника, то есть будет дестабилизирующей. Для малых $z$ ее модуль примерно равен $F_{z,Q} \approx \frac{k|Q||q|}{r^3}z$.

Подставим найденное ранее значение $|Q|=\frac{|q|}{\sqrt{3}}$ и соотношение $a=r\sqrt{3}$: Дестабилизирующая сила: $F_{z,Q} \approx \frac{k(q/\sqrt{3})q}{r^3}z = \frac{kq^2}{\sqrt{3}r^3}z$
Возвращающая сила: $F_{z,q} \approx \frac{2kq^2}{(r\sqrt{3})^3}z = \frac{2kq^2}{3\sqrt{3}r^3}z$

Сравним модули этих сил: $F_{z,Q} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2kq^2}{3\sqrt{3}r^3}z = \frac{3}{2}F_{z,q}$

Дестабилизирующая сила в 1.5 раза больше возвращающей. Результирующая сила будет направлена в сторону смещения, уводя заряд еще дальше от положения равновесия. Следовательно, равновесие является неустойчивым.

Ответ: Данное равновесие не будет устойчивым.