Номер 2, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Молекулярная физика. Глава 7. Методы изучения тепловых явлений. Температура. Параграф 34. Статистический метод описания теплового движения. Задания и упражнения - номер 2, страница 195.

Условие.

2. При распределении молекул между двумя частями сосуда реализова-но 64 микросостояния. Чему равна вероятность этого распределения?Сколько молекул идеального газа образуют микросистему?

Решение.

Дано:

Число микросостояний для рассматриваемого распределения, $W_k = 64$.
Система состоит из идеального газа в сосуде, разделенном на две части.

Найти:

1. Вероятность этого распределения, $P_k$ - ?
2. Общее число молекул газа в системе, $\text{N}$ - ?

Решение:

Для ответа на оба вопроса необходимо сначала определить общее число молекул $\text{N}$ в системе. Логичнее начать со второго вопроса.

Сколько молекул идеального газа образуют микросистему?

Макросостояние системы, состоящей из $\text{N}$ молекул, распределенных по двум частям сосуда, характеризуется числом молекул $\text{k}$ в одной из частей. Число микросостояний $W_k$, которыми может быть реализовано такое макросостояние, определяется числом сочетаний из $\text{N}$ по $\text{k}$:

$W_k = C_N^k = \frac{N!}{k!(N-k)!}$

Согласно условию, для некоторого распределения (т.е. для некоторого $\text{k}$) это число равно 64:

$C_N^k = 64$

Необходимо найти целочисленные решения этого уравнения для $\text{N}$ и $\text{k}$. Проверим наиболее простые случаи:

• При $k=1$, $C_N^1 = N$. Из уравнения следует, что $N=64$. Это соответствует распределению, при котором 1 молекула находится в одной части сосуда, а 63 — в другой.
• При $k=2$, $C_N^2 = \frac{N(N-1)}{2} = 64$, что дает $N(N-1) = 128$. Данное уравнение не имеет целочисленных решений для $\text{N}$, так как $11 \cdot 12 = 132$, а $10 \cdot 11 = 110$.

Более сложные случаи также не приводят к простым целочисленным решениям. В рамках школьной или вузовской задачи наиболее очевидным и простым решением является $N=64$ (при $k=1$ или, что эквивалентно, $k=63$, так как $C_{64}^1 = C_{64}^{63} = 64$).

Таким образом, микросистему образуют 64 молекулы.

Ответ: Микросистему образуют 64 молекулы.

Чему равна вероятность этого распределения?

Вероятность $P_k$ данного макросостояния (распределения) равна отношению числа реализующих его микросостояний $W_k$ к общему числу всех возможных микросостояний системы $W_{общ}$.

Каждая из $\text{N}$ молекул может с равной вероятностью находиться в любой из двух частей сосуда. Следовательно, общее число возможных микросостояний для системы из $\text{N}$ молекул равно:

$W_{общ} = 2^N$

Поскольку мы нашли, что число молекул $N=64$, то общее число микросостояний:

$W_{общ} = 2^{64}$

Число микросостояний для нашего распределения дано в условии: $W_k = 64$.

Теперь мы можем найти вероятность этого распределения:

$P_k = \frac{W_k}{W_{общ}} = \frac{64}{2^{64}}$

Так как $64 = 2^6$, мы можем упростить выражение:

$P_k = \frac{2^6}{2^{64}} = 2^{6-64} = 2^{-58}$

Это крайне малая вероятность, что и следовало ожидать для такого сильно неравномерного распределения молекул.

Ответ: Вероятность этого распределения равна $2^{-58}$.