Номер 10, страница 383 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Электростатика - номер 10, страница 383.

Условие.

10. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику тока. Внутрь одного из них вносят пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon $. Диэлектрик заполняет всё пространство между обкладками конденсатора. Во сколько раз изменится модуль напряжённости электростатического поля в этом конденсаторе?

Ответ. В $ \frac{2}{1+\varepsilon} $ раз.

Решение.

Дано:

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора $C_1 = C_2 = C_0$

Соединение: последовательное

Источник тока с напряжением $\text{U}$

Диэлектрическая проницаемость пластины: $\varepsilon$

Найти:

Во сколько раз изменится модуль напряженности электростатического поля в конденсаторе, в который внесли диэлектрик, то есть найти отношение $\frac{E'}{E}$.

Решение:

1. Начальное состояние (до внесения диэлектрика).

Два одинаковых конденсатора с емкостью $C_0$ соединены последовательно. Их общая емкость $C_{общ}$ вычисляется по формуле:

$C_{общ} = \left( \frac{1}{C_0} + \frac{1}{C_0} \right)^{-1} = \left( \frac{2}{C_0} \right)^{-1} = \frac{C_0}{2}$

Так как конденсаторы подключены к источнику с напряжением $\text{U}$, общий заряд на батарее конденсаторов равен:

$q = C_{общ} \cdot U = \frac{C_0 U}{2}$

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду: $q_1 = q_2 = q$.

Напряженность поля $\text{E}$ в плоском воздушном конденсаторе связана с поверхностной плотностью заряда $\sigma = \frac{q}{S}$ (где $\text{S}$ - площадь обкладки) соотношением $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$.

Таким образом, начальная напряженность поля в любом из конденсаторов (возьмем второй) была:

$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S} = \frac{C_0 U}{2 \varepsilon_0 S}$

Учитывая, что емкость плоского воздушного конденсатора $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ (где $\text{d}$ - расстояние между обкладками), получим:

$E = \frac{(\varepsilon_0 S / d) U}{2 \varepsilon_0 S} = \frac{U}{2d}$

2. Конечное состояние (после внесения диэлектрика во второй конденсатор).

Емкость первого конденсатора осталась прежней, $C_1' = C_0$. Емкость второго конденсатора, в который внесли диэлектрик, стала $C_2' = \varepsilon C_0$.

Новая общая емкость последовательно соединенных конденсаторов:

$C_{общ}' = \left( \frac{1}{C_1'} + \frac{1}{C_2'} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{C_0} + \frac{1}{\varepsilon C_0} \right)^{-1} = \left( \frac{\varepsilon+1}{\varepsilon C_0} \right)^{-1} = \frac{\varepsilon C_0}{\varepsilon+1}$

Новый общий заряд на батарее (напряжение источника $\text{U}$ не изменилось):

$q' = C_{общ}' \cdot U = \frac{\varepsilon C_0 U}{\varepsilon+1}$

Этот заряд будет на каждом из конденсаторов: $q_1' = q_2' = q'$.

Напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком вычисляется по формуле $E' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{q'}{\varepsilon_0 \varepsilon S}$.

Новая напряженность поля во втором конденсаторе:

$E' = \frac{q'}{\varepsilon_0 \varepsilon S} = \frac{1}{\varepsilon_0 \varepsilon S} \cdot \frac{\varepsilon C_0 U}{\varepsilon+1} = \frac{C_0 U}{\varepsilon_0 S (\varepsilon+1)}$

Снова подставляем $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$:

$E' = \frac{(\varepsilon_0 S / d) U}{\varepsilon_0 S (\varepsilon+1)} = \frac{U}{d(\varepsilon+1)}$

3. Найдем отношение напряженностей.

Чтобы узнать, во сколько раз изменился модуль напряженности, найдем отношение конечной напряженности $E'$ к начальной $\text{E}$:

$\frac{E'}{E} = \frac{U / (d(\varepsilon+1))}{U / (2d)} = \frac{U}{d(\varepsilon+1)} \cdot \frac{2d}{U} = \frac{2}{1+\varepsilon}$

Так как $\varepsilon > 1$, то $1+\varepsilon > 2$, и отношение $\frac{2}{1+\varepsilon} < 1$. Это означает, что напряженность поля уменьшилась.

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля в этом конденсаторе изменится в $\frac{2}{1+\varepsilon}$ раз.