Номер 8, страница 383 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Электростатика - номер 8, страница 383.

Условие.

8. Два одинаковых металлических шарика радиусом $\text{r}$ расположены в вакууме на расстоянии $\text{d}$ друг от друга, причём $d \gg r$. Шарики заряжены одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами. Чему равна ёмкость системы, образованной шариками?

Ответ. $C = 2\pi\epsilon_0 r$.

Решение.

Дано:

Два одинаковых металлических шарика

Радиус шариков: $\text{r}$

Расстояние между центрами шариков: $\text{d}$

Условие: $d \gg r$

Заряды шариков: $q_1 = +q$, $q_2 = -q$

Среда: вакуум (диэлектрическая проницаемость $\epsilon_0$)

Найти:

Ёмкость системы, $\text{C}$

Решение:

Ёмкость системы из двух проводников (в данном случае шариков) определяется как отношение заряда одного из проводников, взятого по модулю, к разности потенциалов между ними:

$C = \frac{q}{U} = \frac{q}{|\phi_1 - \phi_2|}$

где $\text{q}$ — модуль заряда каждого шарика, а $\phi_1$ и $\phi_2$ — их потенциалы.

Потенциал каждого шарика создаётся его собственным зарядом и зарядом другого шарика. Пусть первый шарик имеет заряд $+q$, а второй — $-q$.

Потенциал на поверхности первого шарика $\phi_1$ равен сумме потенциала, создаваемого его собственным зарядом, и потенциала, создаваемого вторым шариком:

$\phi_1 = \phi_{собств.1} + \phi_{внешн.2}$

Потенциал на поверхности уединенного проводящего шара радиусом $\text{r}$ с зарядом $\text{q}$ равен $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$.

Поскольку расстояние между шариками значительно больше их радиусов ($d \gg r$), для расчёта потенциала, создаваемого одним шариком в месте расположения другого, можно считать шарики точечными зарядами, расположенными в их центрах.

Тогда потенциал, создаваемый вторым шариком (с зарядом $-q$) в центре первого, равен $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{-q}{d}$.

Следовательно, полный потенциал первого шарика:

$\phi_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{-q}{d} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right)$

Аналогично, потенциал на поверхности второго шарика (с зарядом $-q$):

$\phi_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{-q}{r} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{d} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{1}{r} + \frac{1}{d}\right)$

Разность потенциалов между шариками:

$U = \phi_1 - \phi_2 = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right) - \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{1}{r} + \frac{1}{d}\right)$

$U = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d} + \frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{2}{r} - \frac{2}{d}\right) = \frac{q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right)$

Теперь найдём ёмкость системы:

$C = \frac{q}{U} = \frac{q}{\frac{q}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{d}\right)} = \frac{2\pi\epsilon_0}{\frac{1}{r} - \frac{1}{d}} = 2\pi\epsilon_0 \frac{rd}{d-r}$

Используем условие, что $d \gg r$. Это означает, что в знаменателе $d-r$ можно пренебречь величиной $\text{r}$ по сравнению с $\text{d}$. Таким образом, $d-r \approx d$.

Подставим это приближение в формулу для ёмкости:

$C \approx 2\pi\epsilon_0 \frac{rd}{d} = 2\pi\epsilon_0 r$

Ответ: $C = 2\pi\epsilon_0 r$.