Номер 1, страница 382 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Электростатика - номер 1, страница 382.

Условие.

1. В вершинах квадрата находятся четыре одинаковых одноимённо заряженных точечных заряда $\text{q}$. Какой заряд $\text{Q}$ нужно поместить в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Ответ. $Q = -\frac{q}{4}(1+2\sqrt{2}).$

Решение.

Дано:

Заряды в вершинах квадрата: $q_1=q_2=q_3=q_4=q$

Заряд в центре квадрата: $\text{Q}$

Система находится в равновесии.

Найти:

$\text{Q}$

Решение:

Для того, чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех кулоновских сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть условие равновесия для любого из зарядов, расположенных в вершине квадрата. Равнодействующая сил, действующих на центральный заряд $\text{Q}$ со стороны зарядов в вершинах, всегда равна нулю из-за симметричного расположения.

Рассмотрим силы, действующие на один из зарядов $\text{q}$, например, на тот, что в правом верхнем углу. Обозначим сторону квадрата как $\text{a}$. На этот заряд действуют силы отталкивания со стороны трёх других зарядов $\text{q}$ и сила со стороны центрального заряда $\text{Q}$.

1. Силы со стороны двух соседних зарядов $\text{q}$. Расстояние до каждого из них равно $\text{a}$. Модули этих сил, согласно закону Кулона, равны $F_1 = k \frac{q^2}{a^2}$. Эти силы направлены вдоль сторон квадрата и перпендикулярны друг другу. Их результирующая $\vec{F}_{12}$ направлена по диагонали от центра квадрата, и её модуль по теореме Пифагора равен:

$F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_1^2} = F_1\sqrt{2} = k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2}$

2. Сила со стороны диагонально противоположного заряда $\text{q}$. Расстояние до него равно длине диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Эта сила $\vec{F}_3$ также направлена по диагонали от центра. Её модуль:

$F_3 = k \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = k \frac{q^2}{2a^2}$

3. Суммарная сила отталкивания $\vec{F}_q$ со стороны трёх других зарядов в вершинах направлена по диагонали от центра и равна сумме модулей $F_{12}$ и $F_3$, так как они сонаправлены:

$F_q = F_{12} + F_3 = k \frac{q^2\sqrt{2}}{a^2} + k \frac{q^2}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$

4. Для равновесия эта сила должна быть скомпенсирована силой $\vec{F}_Q$ со стороны центрального заряда $\text{Q}$. Следовательно, сила $\vec{F}_Q$ должна быть направлена к центру квадрата, то есть быть силой притяжения. Это означает, что заряд $\text{Q}$ должен быть противоположен по знаку заряду $\text{q}$.

Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Модуль силы $F_Q$ равен:

$F_Q = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a\sqrt{2}/2)^2} = k \frac{|qQ|}{a^2/2} = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$

5. Приравниваем модули сил $F_q$ и $F_Q$:

$k \frac{q^2}{a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = 2k \frac{|qQ|}{a^2}$

Сокращая $\text{k}$, $a^2$ и один $\text{q}$ (считая $q \neq 0$), получаем:

$|q|(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = 2|Q|$

$|Q| = \frac{|q|}{2}(\sqrt{2} + \frac{1}{2}) = \frac{|q|}{4}(2\sqrt{2} + 1)$

Учитывая, что знаки зарядов $\text{Q}$ и $\text{q}$ противоположны, окончательно получаем:

$Q = -\frac{q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$

Ответ: $Q = -\frac{q}{4}(1+2\sqrt{2})$.