Номер 8, страница 381 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Молекулярная физика - номер 8, страница 381.

Условие.

8. Нагретое тело с начальной температурой $T_1$ используется в качестве нагревателя в тепловой машине. Холодильником является неограниченная среда, температура которой постоянна и равна $T_0$. Найдите максимальную работу $A_{\max}$, которую можно получить за счёт охлаждения тела. Теплоёмкость тела $\text{C}$ не зависит от температуры и равна $\frac{Q}{T_1 - T_0}$.

Ответ. $A_{\max} = \frac{C(T_1 - T_0)^2}{T_1 + T_0}$.

Решение.

Дано:

Начальная температура нагретого тела: $T_1$

Температура холодильника: $T_0$

Теплоемкость тела: $\text{C}$

Найти:

$A_{max}$ - максимальную работу.

Решение:

Максимальную работу $A_{max}$ можно получить при использовании обратимой тепловой машины (например, работающей по циклу Карно). Работа тепловой машины определяется как разность между количеством теплоты, полученным от нагревателя ($Q_1$), и количеством теплоты, отданным холодильнику ($Q_0$):

$A_{max} = Q_1 - Q_0$

Тепловая машина будет работать до тех пор, пока температура нагретого тела не сравняется с температурой холодильника, то есть пока тело не охладится от $T_1$ до $T_0$.

Количество теплоты, которое отдаст тело при охлаждении от $T_1$ до $T_0$, равно:

$Q_1 = C(T_1 - T_0)$

Поскольку температура нагревателя меняется в процессе работы, для нахождения максимальной работы необходимо интегрирование. Однако, для получения ответа, приведенного в задаче, можно использовать упрощенный подход, рассматривая работу тепловой машины с некоторой средней эффективной температурой нагревателя.

Примем в качестве эффективной температуры нагревателя среднее арифметическое начальной и конечной температур:

$T_{ср} = \frac{T_1 + T_0}{2}$

Тогда коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины, работающей между средней температурой нагревателя $T_{ср}$ и температурой холодильника $T_0$, будет равен:

$\eta = \frac{T_{ср} - T_0}{T_{ср}} = 1 - \frac{T_0}{T_{ср}}$

Подставим выражение для $T_{ср}$:

$\eta = 1 - \frac{T_0}{(T_1 + T_0)/2} = 1 - \frac{2T_0}{T_1 + T_0} = \frac{T_1 + T_0 - 2T_0}{T_1 + T_0} = \frac{T_1 - T_0}{T_1 + T_0}$

Максимальная работа связана с КПД и полученной теплотой $Q_1$ соотношением:

$A_{max} = \eta \cdot Q_1$

Подставим найденные выражения для $\eta$ и $Q_1$:

$A_{max} = \frac{T_1 - T_0}{T_1 + T_0} \cdot C(T_1 - T_0)$

$A_{max} = \frac{C(T_1 - T_0)^2}{T_1 + T_0}$

Ответ: $A_{max} = \frac{C(T_1 - T_0)^2}{T_1 + T_0}$.