Номер 1, страница 380 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Молекулярная физика - номер 1, страница 380.

Условие.

1. За некоторое время температура одинакового количества воды в двух различных чайниках, одновременно поставленных на одинаковые нагреватели, поднялась от $20\ ^{\circ}\text{C}$ до $40\ ^{\circ}\text{C}$ и $50\ ^{\circ}\text{C}$ соответственно. В какой чайник и сколько нужно долить воды с температурой $60\ ^{\circ}\text{C}$, чтобы в дальнейшем оба чайника закипели одновременно?

Ответ. Нужно долить во второй чайник столько воды, сколько в нём содержалось.

Решение.

Дано:
Начальная масса воды в первом чайнике: $m_{01} = m_0$
Начальная масса воды во втором чайнике: $m_{02} = m_0$
Мощность нагревателей одинакова: $P_1 = P_2 = P$
Начальная температура воды: $t_{старт} = 20$ °C
Конечная температура воды в первом чайнике: $t_1 = 40$ °C
Конечная температура воды во втором чайнике: $t_2 = 50$ °C
Температура доливаемой воды: $t_{долив} = 60$ °C
Температура кипения воды: $t_{кип} = 100$ °C

Найти:
1. В какой чайник нужно долить воду.
2. Массу доливаемой воды, $m_{долив}$.

Решение:
1. Сначала определим, почему при одинаковых условиях (масса воды, мощность нагревателей, время нагрева) температура воды в чайниках стала разной. Количество теплоты $\text{Q}$, полученное водой, равно $Q = cm\Delta t$, где $\text{c}$ – удельная теплоёмкость воды, $\text{m}$ – масса, $\Delta t$ – изменение температуры.
Поскольку чайники разные, они обладают разным КПД (коэффициентом полезного действия) при нагреве. Часть энергии от нагревателя идет на нагрев самого чайника и теряется в окружающую среду. Обозначим эффективную мощность нагрева (мощность, идущую непосредственно на нагрев воды) для первого чайника как $P'_1$, а для второго – как $P'_2$.За время $\tau$ вода в чайниках получила следующее количество теплоты:
Для первого чайника: $Q_1 = P'_1 \tau = c m_0 (t_1 - t_{старт})$
Для второго чайника: $Q_2 = P'_2 \tau = c m_0 (t_2 - t_{старт})$
Найдем отношение эффективных мощностей:
$\frac{P'_2}{P'_1} = \frac{c m_0 (t_2 - t_{старт})}{c m_0 (t_1 - t_{старт})} = \frac{50 \text{ °C} - 20 \text{ °C}}{40 \text{ °C} - 20 \text{ °C}} = \frac{30}{20} = 1.5$
Это означает, что второй чайник нагревает воду в 1.5 раза эффективнее (быстрее), чем первый.

2. Чтобы оба чайника закипели одновременно, необходимо замедлить процесс нагрева в более эффективном чайнике, то есть во втором. Это можно сделать, увеличив массу воды, которую нужно нагреть. Следовательно, воду нужно доливать во второй чайник.

3. Рассчитаем, сколько воды нужно долить. Пусть масса доливаемой воды равна $m_x$.
Сначала найдем температуру смеси $t'_2$ во втором чайнике после добавления воды массой $m_x$ с температурой $t_{долив} = 60$ °C к воде массой $m_0$ с температурой $t_2 = 50$ °C. Составим уравнение теплового баланса:
$c m_0 (t'_2 - t_2) = c m_x (t_{долив} - t'_2)$
$m_0 (t'_2 - 50) = m_x (60 - t'_2)$
$m_0 t'_2 - 50 m_0 = 60 m_x - m_x t'_2$
$t'_2 (m_0 + m_x) = 50 m_0 + 60 m_x$
$t'_2 = \frac{50 m_0 + 60 m_x}{m_0 + m_x}$

4. Теперь запишем условие одновременного закипания. Время $\tau'$, необходимое для нагрева до кипения, должно быть одинаковым для обоих чайников:
Для первого чайника: $P'_1 \tau' = c m_0 (t_{кип} - t_1)$
Для второго чайника: $P'_2 \tau' = c (m_0 + m_x) (t_{кип} - t'_2)$
Из этих уравнений выразим время $\tau'$ и приравняем:
$\tau' = \frac{c m_0 (t_{кип} - t_1)}{P'_1} = \frac{c (m_0 + m_x) (t_{кип} - t'_2)}{P'_2}$
$\frac{m_0 (100 - 40)}{P'_1} = \frac{(m_0 + m_x) (100 - t'_2)}{P'_2}$
Подставим соотношение мощностей $\frac{P'_2}{P'_1} = 1.5$ :
$1.5 \cdot m_0 \cdot 60 = (m_0 + m_x) (100 - t'_2)$
$90 m_0 = (m_0 + m_x) (100 - \frac{50 m_0 + 60 m_x}{m_0 + m_x})$
$90 m_0 = (m_0 + m_x) \frac{100(m_0 + m_x) - (50 m_0 + 60 m_x)}{m_0 + m_x}$
$90 m_0 = 100 m_0 + 100 m_x - 50 m_0 - 60 m_x$
$90 m_0 = 50 m_0 + 40 m_x$
$40 m_0 = 40 m_x$
$m_x = m_0$
Таким образом, масса доливаемой воды $m_x$ должна быть равна начальной массе воды в чайнике $m_0$.

Ответ: Нужно долить воду во второй чайник. Количество доливаемой воды должно быть равно количеству воды, которое уже было в чайнике.