Номер 7, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 7, страница 379.

Условие.

7. В шар массой 1 кг, подвешенный на длинной нерастяжимой нити, попадает и застревает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью, модуль которой равен 500 м/с. На какую высоту поднимется шар и какая часть механической энергии летящей пули превратится в механическую энергию шара с пулей? Массой нити и трением при движении пренебречь.

Ответ. 1,25 м; $\frac{E_2}{E_1} = \frac{m}{m+M} \approx 0,01$; $\frac{E_2}{E_1} \approx 0,01$.

Решение.

Дано:

Масса шара $M = 1$ кг

Масса пули $m = 10$ г

Начальная скорость пули $v = 500$ м/с

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

1. Высоту подъема шара с пулей $\text{h}$

2. Какая часть механической энергии летящей пули превратится в механическую энергию шара с пулей (отношение $\frac{E_2}{E_1}$)

Решение:

Процесс можно разделить на два последовательных этапа: 1) абсолютно неупругое соударение пули с шаром; 2) дальнейшее движение системы "шар+пуля" по дуге окружности (как математический маятник) до максимальной высоты.

На какую высоту поднимется шар

На первом этапе (соударение) система "пуля+шар" является замкнутой в горизонтальном направлении, так как внешние силы (сила тяжести и сила натяжения нити) действуют вертикально. Поэтому для этого этапа применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до соударения равен импульсу летящей пули:

$p_{до} = m \cdot v$

После соударения пуля застревает в шаре, и они движутся вместе со скоростью $\text{u}$. Их суммарная масса равна $(M+m)$. Импульс системы после соударения:

$p_{после} = (M+m) \cdot u$

По закону сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$m \cdot v = (M+m) \cdot u$

Отсюда находим скорость системы "шар+пуля" сразу после столкновения:

$u = \frac{m \cdot v}{M+m} = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{1 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг}} = \frac{5}{1.01} \approx 4.95$ м/с.

На втором этапе (подъем) для системы "шар+пуля" выполняется закон сохранения механической энергии, так как силой сопротивления воздуха и массой нити пренебрегаем. Вся кинетическая энергия, полученная системой после удара, переходит в потенциальную энергию при подъеме на максимальную высоту $\text{h}$.

$E_{к} = E_{п}$

$\frac{(M+m)u^2}{2} = (M+m)gh$

Сократив массу $(M+m)$, выразим высоту подъема $\text{h}$:

$h = \frac{u^2}{2g}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$h = \frac{(\frac{5}{1.01})^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{25}{1.0201 \cdot 19.6} = \frac{25}{19.99396} \approx 1.25$ м.

Ответ: $1.25$ м.

Какая часть механической энергии летящей пули превратится в механическую энергию шара с пулей

Механическая энергия летящей пули до столкновения — это её кинетическая энергия (потенциальную энергию на начальном уровне примем за ноль):

$E_1 = \frac{mv^2}{2}$

Механическая энергия системы "шар+пуля" сразу после столкновения — это кинетическая энергия системы:

$E_2 = \frac{(M+m)u^2}{2}$

Чтобы найти, какая часть начальной энергии пули перешла в механическую энергию системы, найдем отношение $E_2$ к $E_1$:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{(M+m)u^2}{2}}{\frac{mv^2}{2}} = \frac{(M+m)u^2}{mv^2}$

Из закона сохранения импульса мы ранее получили $u = \frac{m v}{M + m}$. Подставим это выражение в формулу для отношения энергий:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{(M+m)}{mv^2} \cdot \left(\frac{m v}{M + m}\right)^2 = \frac{(M+m)}{mv^2} \cdot \frac{m^2 v^2}{(M + m)^2} = \frac{m}{M+m}$

Подставим числовые значения:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{0.01 \text{ кг}}{1 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг}} = \frac{0.01}{1.01} = \frac{1}{101} \approx 0.0099$

Округлив, получим примерно $0.01$. Это означает, что только около $1\%$ начальной кинетической энергии пули превращается в механическую энергию системы "шар+пуля". Остальная энергия ($99\%$) в результате неупругого удара превращается во внутреннюю энергию (нагрев тел).

Ответ: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{m}{M+m} \approx 0.01$.