Номер 3, страница 378 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 3, страница 378.

Условие.

3. С башни высотой $\text{H}$ падает мяч. Одновременно с началом его падения с поверхности Земли из точки, находящейся на расстоянии $\text{L}$ от основания башни, бросают под углом $\alpha$ к горизонту другой мяч так, что оба мяча через некоторое время сталкиваются в воздухе. Определите величину угла $\alpha$, если отношение $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. $\alpha = 60^{\circ}$.

Решение.

Дано:

Высота башни: $\text{H}$

Расстояние от основания башни до точки броска: $\text{L}$

Отношение высоты к расстоянию: $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Угол броска $\alpha$.

Решение:

Введем систему координат. Начало координат $(0, 0)$ поместим в точку, откуда бросают второй мяч. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону башни, а ось $OY$ — вертикально вверх. В этой системе координат начальные положения мячей будут следующими:

• Первый мяч (падающий с башни): начальная координата $x_1(0) = L$, $y_1(0) = H$. Начальная скорость равна нулю.
• Второй мяч (брошенный с земли): начальная координата $x_2(0) = 0$, $y_2(0) = 0$. Начальная скорость $v_0$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту.

Запишем уравнения движения для каждого мяча. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому на оба мяча действует только сила тяжести, сообщающая им ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вертикально вниз.

Для первого мяча:

$x_1(t) = L$

$y_1(t) = H - \frac{gt^2}{2}$

Для второго мяча, разложив начальную скорость на компоненты $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ и $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$:

$x_2(t) = v_{0x}t = (v_0 \cos\alpha)t$

$y_2(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Столкновение произойдет в момент времени $t_{ст}$, когда координаты обоих мячей совпадут: $x_1(t_{ст}) = x_2(t_{ст})$ и $y_1(t_{ст}) = y_2(t_{ст})$.

Приравняем координаты по оси $OX$:

$L = (v_0 \cos\alpha)t_{ст}$ (1)

Приравняем координаты по оси $OY$:

$H - \frac{gt_{ст}^2}{2} = (v_0 \sin\alpha)t_{ст} - \frac{gt_{ст}^2}{2}$

Слагаемые с ускорением свободного падения сокращаются, и мы получаем:

$H = (v_0 \sin\alpha)t_{ст}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти угол $\alpha$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{H}{L} = \frac{(v_0 \sin\alpha)t_{ст}}{(v_0 \cos\alpha)t_{ст}}$

Величины $v_0$ и $t_{ст}$ сокращаются, и мы получаем:

$\frac{H}{L} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

По условию задачи дано, что $\frac{H}{L} = \sqrt{3}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\tan\alpha = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^{\circ}$.

$\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$

Ответ: $\alpha = 60^{\circ}$.