Номер 9, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 9, страница 379.

Условие.

9. Фонарь массой $m = 10 \text{ кг}$ висит посредине улицы шириной $l = 10 \text{ м}$. На какой высоте $\text{H}$ нужно закрепить концы каната, чтобы точка подвеса фонаря находилась на высоте $h = 5 \text{ м}$? Модуль допустимой силы натяжения каната равен 500 Н.

Ответ. $H \geq 5,5 \text{ м}$.

Решение.

Дано:

$m = 10$ кг

$l = 10$ м

$h = 5$ м

$T_{max} = 500$ Н

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$\text{H}$ - высоту, на которой нужно закрепить концы каната.

Решение:

Фонарь находится в равновесии. На него действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения каната $T_1$ и $T_2$. Так как фонарь висит посредине улицы, система симметрична, поэтому $T_1 = T_2 = T$, и углы наклона каната к горизонтали одинаковы и равны $\alpha$.

Запишем условие равновесия фонаря в проекции на вертикальную ось $\text{y}$ (направленную вверх):

$T \sin\alpha + T \sin\alpha - mg = 0$

$2T \sin\alpha = mg$

Отсюда можно выразить силу натяжения каната:

$T = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$

По условию задачи, сила натяжения не должна превышать допустимое значение $T_{max}$:

$T \le T_{max}$

Подставим выражение для $\text{T}$ в это неравенство:

$\frac{mg}{2 \sin\alpha} \le T_{max}$

Из этого неравенства найдем минимальное значение для синуса угла $\alpha$:

$\sin\alpha \ge \frac{mg}{2 T_{max}}$

Подставим числовые значения:

$\sin\alpha \ge \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 500 \text{ Н}} = \frac{100}{1000} = 0.1$

Теперь свяжем угол $\alpha$ с геометрическими параметрами. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной каната, половиной ширины улицы и вертикальным катетом, равным разности высот $H - h$.

Горизонтальный катет равен $l/2 = 10 \text{ м} / 2 = 5 \text{ м}$.

Вертикальный катет равен $H - h$.

Гипотенуза (длина половины каната) равна $\sqrt{(H-h)^2 + (l/2)^2}$.

Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin\alpha = \frac{H-h}{\sqrt{(H-h)^2 + (l/2)^2}}$

Теперь подставим это выражение в полученное ранее неравенство:

$\frac{H-h}{\sqrt{(H-h)^2 + (l/2)^2}} \ge 0.1$

Обозначим $\Delta h = H - h$ для удобства. Так как $H>h$, то $\Delta h > 0$. Можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$\frac{(\Delta h)^2}{(\Delta h)^2 + (l/2)^2} \ge 0.1^2$

$\frac{(\Delta h)^2}{(\Delta h)^2 + 5^2} \ge 0.01$

$(\Delta h)^2 \ge 0.01 \cdot ((\Delta h)^2 + 25)$

$(\Delta h)^2 \ge 0.01 (\Delta h)^2 + 0.25$

$(\Delta h)^2 - 0.01 (\Delta h)^2 \ge 0.25$

$0.99 (\Delta h)^2 \ge 0.25$

$(\Delta h)^2 \ge \frac{0.25}{0.99} \approx 0.2525$

$\Delta h \ge \sqrt{0.2525} \approx 0.5025 \text{ м}$

Теперь вернемся к высоте $\text{H}$:

$H - h \ge 0.5025 \text{ м}$

$H \ge h + 0.5025 \text{ м}$

$H \ge 5 \text{ м} + 0.5025 \text{ м}$

$H \ge 5.5025 \text{ м}$

Округляя результат, получаем, что высота $\text{H}$ должна быть не менее 5,5 м.

Ответ: $H \ge 5,5$ м.