Номер 2, страница 380 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Молекулярная физика - номер 2, страница 380.

Условие.

2. В комнате объёмом $60 \text{ м}^3$ находится воздух при температуре $290 \text{ К}$ и давлении $100 \text{ кПа}$. Воздух в комнате нагрели, и его температура повысилась на $5 \text{ К}$. Какая масса воздуха выйдет наружу через открытую форточку, если давление на улице остаётся неизменным? Молярная масса воздуха равна $0,029 \text{ кг/моль}$.

Ответ. $1,225 \text{ кг}$.

Решение.

Дано:

$V = 60 \text{ м}^3$

$T_1 = 290 \text{ К}$

$P = 100 \text{ кПа}$

$\Delta T = 5 \text{ К}$

$M = 0,029 \text{ кг/моль}$

$R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ (универсальная газовая постоянная)

$P = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta m$

Решение:

Будем считать воздух идеальным газом. Его состояние описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$PV = \nu RT$

где $\nu$ – количество вещества, которое можно выразить через массу газа $\text{m}$ и его молярную массу $\text{M}$ как $\nu = \frac{m}{M}$.

Подставим это в уравнение состояния:

$PV = \frac{m}{M}RT$

Из этого уравнения можно выразить массу газа:

$m = \frac{PVM}{RT}$

1. Найдем начальную массу воздуха $m_1$ в комнате при температуре $T_1 = 290 \text{ К}$.

$m_1 = \frac{PVM}{RT_1}$

2. После нагревания температура воздуха стала $T_2 = T_1 + \Delta T$. Так как форточка открыта, давление в комнате остается равным атмосферному, то есть $P = \text{const}$. Объем, занимаемый воздухом, также остается равным объему комнаты, $V = \text{const}$. Масса воздуха, оставшегося в комнате, станет $m_2$.

$T_2 = 290 \text{ К} + 5 \text{ К} = 295 \text{ К}$

Масса воздуха $m_2$ в комнате при температуре $T_2$:

$m_2 = \frac{PVM}{RT_2}$

3. Масса воздуха $\Delta m$, которая выйдет наружу, равна разности начальной и конечной масс воздуха в комнате:

$\Delta m = m_1 - m_2$

$\Delta m = \frac{PVM}{RT_1} - \frac{PVM}{RT_2} = \frac{PVM}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\Delta m = \frac{PVM}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$

Поскольку $T_2 - T_1 = \Delta T$, окончательная формула для расчета:

$\Delta m = \frac{PVM \Delta T}{R T_1 T_2}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta m = \frac{10^5 \text{ Па} \cdot 60 \text{ м}^3 \cdot 0,029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 5 \text{ К}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 290 \text{ К} \cdot 295 \text{ К}} = \frac{870000}{710920,5} \approx 1,22376 \text{ кг}$

Округлим результат до тысячных.

$\Delta m \approx 1,224 \text{ кг}$

Ответ: $1,224 \text{ кг}$.