Номер 6, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 6, страница 379.

Условие.

6. Два одинаковых груза массой $\text{M}$ связаны между собой лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок с неподвижной осью. На один из грузов кладут перегрузок массой $\text{m}$. Определите: а) модуль ускорения, с которым будут двигаться грузы; б) модуль силы натяжения нити. Трением при движении пренебречь.

Ответ.

а) $a = \frac{mg}{2M + m}$;

б) $T = Mg + \frac{mMg}{2M + m}$.

Решение.

Дано:

Масса первого груза: $\text{M}$

Масса второго груза: $\text{M}$

Масса перегрузка: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

a) модуль ускорения, с которым будут двигаться грузы: $a - ?$

б) модуль силы натяжения нити: $T - ?$

Решение:

Рассмотрим систему из двух грузов, соединенных нитью. На один из грузов массой $\text{M}$ положили перегрузок массой $\text{m}$. Таким образом, у нас есть два тела: первое тело – груз массой $\text{M}$, и второе тело – груз с перегрузком общей массой $M+m$.

Поскольку $M+m > M$, второе тело будет двигаться вниз, а первое – вверх. Так как нить нерастяжима, модули ускорений обоих тел будут одинаковы и равны $\text{a}$. Поскольку нить и блок невесомы, сила натяжения нити $\text{T}$ будет одинакова по всей её длине.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось, направленную вдоль движения каждого тела.

Для первого тела (груз массой $\text{M}$, движущийся вверх):

На него действуют сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх) и сила тяжести $Mg$ (вниз). Ускорение $\text{a}$ направлено вверх. Уравнение движения:

$T - Mg = Ma$ (1)

Для второго тела (груз с перегрузком общей массой $M+m$, движущийся вниз):

На него действуют сила тяжести $(M+m)g$ (вниз) и сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх). Ускорение $\text{a}$ направлено вниз. Уравнение движения:

$(M+m)g - T = (M+m)a$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{T}$.

а) модуль ускорения, с которым будут двигаться грузы

Чтобы найти ускорение $\text{a}$, сложим уравнения (1) и (2):

$(T - Mg) + ((M+m)g - T) = Ma + (M+m)a$

Раскроем скобки и сократим $\text{T}$:

$T - Mg + Mg + mg - T = a(M + M + m)$

$mg = a(2M + m)$

Отсюда выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{mg}{2M + m}$

Ответ: $a = \frac{mg}{2M + m}$

б) модуль силы натяжения нити

Чтобы найти силу натяжения нити $\text{T}$, подставим найденное выражение для ускорения $\text{a}$ в уравнение (1):

$T = Mg + Ma$

$T = Mg + M \cdot \left(\frac{mg}{2M + m}\right)$

$T = Mg + \frac{mMg}{2M + m}$

Также можно привести к общему знаменателю для получения альтернативной формы ответа:

$T = \frac{Mg(2M+m) + mMg}{2M+m} = \frac{2M^2g + Mmg + Mmg}{2M+m} = \frac{2M^2g + 2Mmg}{2M+m} = \frac{2Mg(M+m)}{2M+m}$

Обе формы записи верны, но первая соответствует форме ответа из условия задачи.

Ответ: $T = Mg + \frac{mMg}{2M + m}$