Номер 2, страница 378 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 2, страница 378.

Условие.

2. На рис. 285 приведён график зависимости проекции $v_x$ скорости движения тела от времени $\text{t}$. Постройте графики зависимости проекции ускорения $a_x$, проекции перемещения $s_x$ тела и пройденного им пути $\text{S}$ от времени $\text{t}$.

Рис. 285

Решение.

Дано:

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $\text{t}$.

Из графика можно определить следующие параметры движения на разных участках:

1. Участок $t \in [0; 3]$ с: начальная скорость $v_{0x} = 2$ м/с, конечная скорость $v_x(3) = -1$ м/с.

2. Участок $t \in [3; 6]$ с: постоянная скорость $v_x = -1$ м/с.

3. Участок $t \in [6; 9]$ с: начальная скорость $v_x(6) = -1$ м/с, конечная скорость $v_x(9) = 0$ м/с.

Найти:

Построить графики зависимостей от времени $\text{t}$ для:

1. Проекции ускорения $a_x$.

2. Проекции перемещения $s_x$.

3. Пройденного пути $\text{S}$.

Решение:

Проекция ускорения $a_x$

Проекция ускорения $a_x$ определяется как изменение проекции скорости за единицу времени, то есть тангенс угла наклона графика $v_x(t)$.

1. На участке $t \in (0; 3)$ с движение равноускоренное:

$a_{x1} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x(3) - v_x(0)}{3 - 0} = \frac{-1 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с}}{3 \text{ с}} = -1 \text{ м/с}^2$.

2. На участке $t \in (3; 6)$ с движение равномерное, так как скорость постоянна:

$a_{x2} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{-1 \text{ м/с} - (-1 \text{ м/с})}{6 \text{ с} - 3 \text{ с}} = 0 \text{ м/с}^2$.

3. На участке $t \in (6; 9)$ с движение равноускоренное:

$a_{x3} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x(9) - v_x(6)}{9 - 6} = \frac{0 \text{ м/с} - (-1 \text{ м/с})}{3 \text{ с}} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$.

Ответ: График $a_x(t)$ — это ступенчатая функция. На интервале $t \in (0; 3)$ с это горизонтальная линия на уровне $a_x = -1$ м/с². На интервале $t \in (3; 6)$ с — горизонтальная линия на уровне $a_x = 0$ м/с². На интервале $t \in (6; 9)$ с — горизонтальная линия на уровне $a_x = 1/3$ м/с².

Проекция перемещения $s_x$

Проекция перемещения $s_x$ за время $\text{t}$ численно равна площади фигуры под графиком $v_x(t)$ от 0 до $\text{t}$. Примем начальное положение тела $s_x(0) = 0$.

1. Участок $t \in [0; 3]$ с. Уравнение для перемещения: $s_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_{x1}t^2}{2} = 2t - 0.5t^2$. График — парабола с ветвями вниз. Скорость становится равной нулю при $t = 2$ с. В этот момент тело достигает максимального смещения в положительном направлении.

Перемещение в конце участка: $s_x(3) = \text{площадь трапеции} = \frac{2 + 0}{2} \cdot 2 + \frac{-1 + 0}{2} \cdot 1 = 2 - 0,5 = 1,5$ м.

2. Участок $t \in [3; 6]$ с. Движение равномерное. Перемещение за этот интервал: $\Delta s_{x2} = v_x \cdot \Delta t = -1 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = -3$ м.

Общее перемещение к $t=6$ с: $s_x(6) = s_x(3) + \Delta s_{x2} = 1,5 \text{ м} - 3 \text{ м} = -1,5$ м. График на этом участке — прямая линия.

3. Участок $t \in [6; 9]$ с. Движение равноускоренное. Перемещение за этот интервал (площадь треугольника): $\Delta s_{x3} = \frac{v_x(6) + v_x(9)}{2} \cdot \Delta t = \frac{-1 \text{ м/с} + 0}{2} \cdot 3 \text{ с} = -1,5$ м.

Общее перемещение к $t=9$ с: $s_x(9) = s_x(6) + \Delta s_{x3} = -1,5 \text{ м} - 1,5 \text{ м} = -3$ м. График — парабола с ветвями вверх ($a_x > 0$).

Ответ: График $s_x(t)$ строится по ключевым точкам: $(0; 0)$, $(2; 2)$ (вершина параболы), $(3; 1,5)$, $(6; -1,5)$, $(9; -3)$. На участке $[0; 3]$ с — парабола с ветвями вниз. На участке $[3; 6]$ с — отрезок прямой. На участке $[6; 9]$ с — парабола с ветвями вверх.

Пройденный путь $\text{S}$

Пройденный путь $\text{S}$ равен сумме площадей фигур, ограниченных графиком $v_x(t)$ и осью времени, взятых по модулю. Путь — неубывающая функция времени. $S(0) = 0$.

1. Участок $t \in [0; 2]$ с. Скорость $v_x \ge 0$, поэтому путь равен перемещению: $S(2) = s_x(2) = 2$ м.

2. Участок $t \in [2; 3]$ с. Скорость $v_x \le 0$. Путь, пройденный за это время: $\Delta S_{2-3} = |\text{площадь}| = |-0,5 \text{ м}| = 0,5$ м.

Общий путь к $t=3$ с: $S(3) = S(2) + \Delta S_{2-3} = 2 + 0,5 = 2,5$ м.

3. Участок $t \in [3; 6]$ с. Скорость $v_x < 0$. Путь, пройденный за это время: $\Delta S_{3-6} = |v_x| \cdot \Delta t = |-1 \text{ м/с}| \cdot 3 \text{ с} = 3$ м.

Общий путь к $t=6$ с: $S(6) = S(3) + \Delta S_{3-6} = 2,5 + 3 = 5,5$ м.

4. Участок $t \in [6; 9]$ с. Скорость $v_x \le 0$. Путь, пройденный за это время: $\Delta S_{6-9} = |\Delta s_{x3}| = |-1,5 \text{ м}| = 1,5$ м.

Общий путь к $t=9$ с: $S(9) = S(6) + \Delta S_{6-9} = 5,5 + 1,5 = 7$ м.

Ответ: График $S(t)$ строится по ключевым точкам: $(0; 0)$, $(2; 2)$, $(3; 2,5)$, $(6; 5,5)$, $(9; 7)$. На участке $[0; 2]$ с график совпадает с $s_x(t)$. На участках, где скорость отрицательна ($t \in [2; 9]$), путь продолжает расти. На участке $[2; 3]$ и $[6; 9]$ график представляет собой параболические кривые, а на участке $[3; 6]$ — отрезок прямой с положительным наклоном. Весь график является неубывающей функцией.