Номер 5, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 5, страница 379.

Условие.

5. На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $\text{M}$. На доску кладут груз массой $\text{m}$. Коэффициент трения груза о доску равен $\mu$. Найдите модуль минимальной силы, которую нужно приложить к грузу, чтобы он скользил по горизонтальной доске.

Ответ. $F = \left(1 + \frac{m}{M}\right)\mu gm$.

Решение.

Дано

Масса доски: $\text{M}$

Масса груза: $\text{m}$

Коэффициент трения груза о доску: $\mu$

Трение между доской и столом отсутствует.

Найти:

$F_{min}$ - модуль минимальной силы, приложенной к грузу, чтобы он начал скользить по доске.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на груз и доску в горизонтальном и вертикальном направлениях. Выберем систему отсчета, связанную со столом. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону приложения силы $\text{F}$, а ось $OY$ - вертикально вверх.

1. Силы, действующие на груз (массой $\text{m}$):

По оси $OY$: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции $\text{N}$ со стороны доски, направленная вверх. В вертикальном направлении движения нет, поэтому $N - mg = 0$, откуда $N = mg$.

По оси $OX$: приложенная сила $\text{F}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, действующая со стороны доски и направленная против силы $\text{F}$. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось $OX$ имеет вид: $F - F_{тр} = ma_m$, где $a_m$ - ускорение груза.

2. Силы, действующие на доску (массой $\text{M}$):

По оси $OX$: единственная горизонтальная сила — это сила трения $F'_{тр}$, действующая со стороны груза. По третьему закону Ньютона, $F'_{тр} = F_{тр}$ по модулю и направлена в ту же сторону, что и сила $\text{F}$. Стол гладкий, поэтому трение между доской и столом отсутствует. Второй закон Ньютона для доски в проекции на ось $OX$: $F_{тр} = Ma_M$, где $a_M$ - ускорение доски.

Скольжение груза по доске начнется в тот момент, когда ускорение груза $a_m$ станет больше ускорения доски $a_M$. Минимальная сила $\text{F}$ соответствует предельному случаю, когда система находится на грани скольжения, и сила трения достигает своего максимального значения — силы трения скольжения.

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Так как $N = mg$, то $F_{тр} = \mu mg$.

Подставим это значение в уравнение для доски, чтобы найти максимальное ускорение, с которым доска может двигаться за счет силы трения:

$\mu mg = Ma_M$

$a_M = \frac{\mu mg}{M}$

Это максимальное ускорение, которое может приобрести доска. Чтобы началось проскальзывание, ускорение груза $a_m$ должно быть хотя бы немного больше этого значения. Минимальная сила $\text{F}$ соответствует случаю, когда ускорение груза равно этому максимальному ускорению доски, то есть $a_m = a_M = a = \frac{\mu mg}{M}$.

Теперь подставим это значение ускорения и значение силы трения в уравнение движения для груза:

$F - F_{тр} = ma_m$

$F_{min} - \mu mg = m \left( \frac{\mu mg}{M} \right)$

Выразим $F_{min}$:

$F_{min} = \mu mg + \frac{m^2 \mu g}{M}$

Вынесем общий множитель $\mu mg$ за скобки:

$F_{min} = \mu mg \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$

Ответ: $F = \mu mg \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$