Номер 10, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 10, страница 379.

Условие.

10. Воздушный шар находится в равновесии на некоторой высоте над Землёй. Определите массу груза, которую нужно выбросить из корзины шара, чтобы он начал подниматься с ускорением, модуль которого равен $\text{a}$. Объём шара равен $\text{V}$ и значительно превышает объём корзины с грузом. Плотность воздуха в месте нахождения шара равна $\rho$.

Ответ. $m = \frac{\rho a V}{(a+g)}$.

Решение.

Дано:

$\text{a}$ - ускорение шара после сброса груза
$\text{V}$ - объем шара
$\rho$ - плотность воздуха
$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{m}$ - масса сброшенного груза

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: до сброса груза (равновесие) и после сброса груза (движение с ускорением).

1. Состояние равновесия.
Когда воздушный шар находится в равновесии, сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шар действуют:

• Сила Архимеда (выталкивающая сила), направленная вверх: $F_A = \rho g V$.
• Сила тяжести, направленная вниз: $F_g = M g$, где $\text{M}$ - полная начальная масса шара с корзиной и грузом.

Поскольку шар в равновесии, эти силы уравновешивают друг друга:
$F_A = F_g$
$\rho g V = M g$
Отсюда находим начальную массу шара: $M = \rho V$.

2. Движение с ускорением.
После того как из корзины выбросили груз массой $\text{m}$, общая масса системы стала равна $(M - m)$. Шар начал подниматься с ускорением $\text{a}$.
Запишем второй закон Ньютона для шара. Ось OY направим вертикально вверх.

Сумма сил, действующих на шар, равна произведению его новой массы на ускорение:
$F_A - (M - m)g = (M - m)a$
Сила Архимеда $F_A$ осталась прежней, так как объем шара $\text{V}$ и плотность воздуха $\rho$ не изменились.
Подставим в это уравнение выражения для $F_A$ и $\text{M}$, которые мы нашли ранее:
$\rho g V - (\rho V - m)g = (\rho V - m)a$
Теперь решим это уравнение относительно искомой массы $\text{m}$. Раскроем скобки:
$\rho g V - \rho g V + mg = \rho V a - ma$
$mg = \rho V a - ma$
Перенесем все слагаемые, содержащие $\text{m}$, в левую часть:
$mg + ma = \rho V a$
Вынесем $\text{m}$ за скобки:
$m(g + a) = \rho V a$
Отсюда выражаем массу $\text{m}$:
$m = \frac{\rho a V}{a + g}$

Ответ: $m = \frac{\rho a V}{a + g}$