Номер 3, страница 380 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Молекулярная физика - номер 3, страница 380.

Условие.

3. Баллон с идеальным газом разделён на две равные части теплоизолирующей перегородкой с очень малым отверстием. По разные стороны перегородки поддерживаются постоянные температуры $T_1$ и $T_2$. Чему равно отношение давлений $p_1$ и $p_2$ газа в различных частях баллона?

Ответ. $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Решение.

Дано:

Баллон с идеальным газом, разделенный на две равные части ($V_1 = V_2$) теплоизолирующей перегородкой с малым отверстием.

Температура в первой части: $T_1$.

Температура во второй части: $T_2$.

Давление в первой части: $p_1$.

Давление во второй части: $p_2$.

Найти:

Отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:

Наличие малого отверстия в перегородке позволяет молекулам газа перемещаться между двумя частями баллона. Со временем в системе установится стационарное (квазиравновесное) состояние. Это не будет полным термодинамическим равновесием, поскольку температуры в обеих частях поддерживаются разными. Стационарное состояние характеризуется тем, что поток молекул из первой части во вторую равен потоку молекул из второй части в первую. Таким образом, количество газа в каждой части баллона в среднем остается постоянным.

Число молекул $\text{J}$, пролетающих через отверстие площадью $\text{S}$ за единицу времени, определяется формулой из молекулярно-кинетической теории:

$J = \frac{1}{4} n \langle v \rangle S$

где $\text{n}$ — концентрация молекул, а $\langle v \rangle$ — их средняя арифметическая скорость.

В установившемся режиме поток молекул из первой части во вторую ($J_{1 \to 2}$) равен потоку из второй в первую ($J_{2 \to 1}$):

$J_{1 \to 2} = J_{2 \to 1}$

Подставим формулу для потока:

$\frac{1}{4} n_1 \langle v_1 \rangle S = \frac{1}{4} n_2 \langle v_2 \rangle S$

где $n_1, \langle v_1 \rangle$ и $n_2, \langle v_2 \rangle$ — концентрации и средние скорости молекул в первой и второй частях соответственно. Сокращая общие множители, получаем:

$n_1 \langle v_1 \rangle = n_2 \langle v_2 \rangle$

Концентрацию молекул $\text{n}$ можно выразить из уравнения состояния идеального газа: $p = n k T$, где $\text{k}$ — постоянная Больцмана. Отсюда $n = \frac{p}{kT}$.

Средняя скорость теплового движения молекул пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры: $\langle v \rangle \propto \sqrt{T}$. Более точно, $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}$, где $m_0$ — масса одной молекулы.

Подставим выражения для концентрации и средней скорости в наше равенство:

$\frac{p_1}{kT_1} \cdot C\sqrt{T_1} = \frac{p_2}{kT_2} \cdot C\sqrt{T_2}$

где $\text{C}$ — константа пропорциональности. Сократив константы, получим:

$\frac{p_1}{T_1} \sqrt{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \sqrt{T_2}$

Упростим выражение, зная что $\frac{\sqrt{T}}{T} = \frac{1}{\sqrt{T}}$:

$\frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Ответ: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.