Номер 8, страница 379 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 8, страница 379.

Условие.

8. На лёгкой нерастяжимой верёвке с поверхности Земли поднимается груз массой $5 \text{ кг}$ с ускорением, модуль которого равен $1 \text{ м/с}^2$. Через $4 \text{ с}$ после начала движения верёвка оборвалась. Какой максимальной высоты достигнет груз? Какая была совершена работа по поднятию груза? Модуль ускорения свободного падения принять равным $9,8 \text{ м/с}^2$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. $8,8 \text{ м}$; $432 \text{ Дж}$.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 5$ кг
Ускорение подъема: $a = 1$ м/с²
Время подъема: $t = 4$ с
Ускорение свободного падения: $g = 9.8$ м/с²
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с

Найти:

Максимальная высота подъема: $H_{max}$ - ?
Работа по поднятию груза: $\text{A}$ - ?

Решение:

Движение груза можно разделить на два этапа:
1. Равноускоренный подъем на верёвке с ускорением $\text{a}$ в течение времени $\text{t}$.
2. Свободное движение вверх и вниз под действием силы тяжести после обрыва верёвки.

Какой максимальной высоты достигнет груз?

Сначала определим высоту $h_1$ и скорость $v_1$, которые груз достиг к моменту обрыва верёвки. Так как движение начинается из состояния покоя, используем формулы равноускоренного движения:

Высота, на которую поднялся груз на верёвке:

$h_1 = \frac{at^2}{2} = \frac{1 \, \text{м/с}^2 \cdot (4 \, \text{с})^2}{2} = \frac{1 \cdot 16}{2} = 8$ м.

Скорость груза в момент обрыва верёвки:

$v_1 = at = 1 \, \text{м/с}^2 \cdot 4 \, \text{с} = 4$ м/с.

После обрыва верёвки груз продолжит движение вверх с начальной скоростью $v_1$ и будет замедляться под действием ускорения свободного падения $\text{g}$. Высоту $h_2$, на которую он поднимется после обрыва, можно найти из формулы:

$h_2 = \frac{v_1^2}{2g}$

$h_2 = \frac{(4 \, \text{м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2} = \frac{16}{19.6} \approx 0.816$ м.

Максимальная высота подъема $H_{max}$ будет суммой высоты подъема на верёвке $h_1$ и высоты подъема после обрыва $h_2$:

$H_{max} = h_1 + h_2 = 8 \, \text{м} + 0.816 \, \text{м} \approx 8.816$ м.

Округляя до десятых, получаем $H_{max} \approx 8.8$ м.

Ответ: $H_{max} \approx 8.8$ м.

Какая была совершена работа по поднятию груза?

Работа по поднятию груза совершалась силой натяжения верёвки $\text{T}$ на протяжении первого этапа движения, то есть на высоте $h_1$.

Для нахождения силы натяжения $\text{T}$ воспользуемся вторым законом Ньютона. На груз действуют две силы: сила натяжения $\text{T}$, направленная вверх, и сила тяжести $mg$, направленная вниз. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх, уравнение движения выглядит так:

$ma = T - mg$

Отсюда выражаем силу натяжения:

$T = ma + mg = m(a+g)$

$T = 5 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м/с}^2 + 9.8 \, \text{м/с}^2) = 5 \, \text{кг} \cdot 10.8 \, \text{м/с}^2 = 54$ Н.

Теперь можем вычислить работу $\text{A}$, совершённую силой натяжения, как произведение силы на перемещение:

$A = T \cdot h_1$

$A = 54 \, \text{Н} \cdot 8 \, \text{м} = 432$ Дж.

Ответ: $A = 432$ Дж.