Номер 4, страница 378 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Механика - номер 4, страница 378.

Условие.

4. Автомобиль движется со скоростью, модуль которой равен 40 км/ч, по выпуклому мосту, представляющему собой дугу окружности радиусом 30 м. Коэффициент трения колёс о мост равен 0,5. Найдите модуль максимального ускорения в горизонтальном направлении, которое может иметь автомобиль в наивысшей точке моста. Модуль ускорения свободного падения принять равным 9,8 м/с².

Ответ. $a = \mu \left(g - \frac{v^2}{R}\right); a \approx 2,4 \, \text{м/с}^2$.

Решение.

Дано:

$v = 40 \text{ км/ч}$

$R = 30 \text{ м}$

$\mu = 0,5$

$g = 9,8 \text{ м/с}^2$

$v = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{400}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{100}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 11,1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$a_{max}$ – ?

Решение:

На автомобиль, находящийся в наивысшей точке выпуклого моста, действуют следующие силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально, которая обеспечивает горизонтальное ускорение автомобиля.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Направим ось OY вертикально вниз (к центру кривизны моста), а ось OX – горизонтально в направлении движения.

В проекции на ось OY равнодействующая сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$:

$mg - N = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить силу нормальной реакции опоры $\text{N}$:

$N = mg - m \frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

В проекции на ось OX на автомобиль действует только сила трения, которая и сообщает ему горизонтальное ускорение $\text{a}$:

$F_{тр} = ma$

Максимально возможное ускорение $a_{max}$ достигается тогда, когда сила трения максимальна. Максимальная сила трения покоя (сила сцепления) определяется как $F_{тр.max} = \mu N$. Следовательно:

$m a_{max} = \mu N$

Подставим в это уравнение выражение для силы нормальной реакции опоры $\text{N}$:

$m a_{max} = \mu m(g - \frac{v^2}{R})$

Сократив массу $\text{m}$ в левой и правой частях уравнения, получим формулу для вычисления максимального горизонтального ускорения:

$a_{max} = \mu (g - \frac{v^2}{R})$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя скорость в м/с ($v = \frac{100}{9} \text{ м/с}$):

$a_{max} = 0,5 \cdot (9,8 - \frac{(\frac{100}{9})^2}{30}) = 0,5 \cdot (9,8 - \frac{10000}{81 \cdot 30}) = 0,5 \cdot (9,8 - \frac{1000}{243})$

$a_{max} \approx 0,5 \cdot (9,8 - 4,115) = 0,5 \cdot 5,685 = 2,8425 \text{ м/с}^2$

Округляя, получаем:

$a_{max} \approx 2,84 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{max} = \mu (g - \frac{v^2}{R})$; $a_{max} \approx 2,84 \text{ м/с}^2$.