Номер 5, страница 380 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Дополнительные задания повышенной сложности. Молекулярная физика - номер 5, страница 380.

Условие.

5. Один моль идеального одноатомного газа, находящегося при нормальных условиях, переводят из одного состояния в другое двумя способами:

а) сначала изохорно, увеличивая давление в 2 раза, а затем изобарно, увеличивая объём в 2 раза;

б) сначала изобарно, увеличивая объём в 2 раза, а затем изохорно, увеличивая давление в 2 раза. Найдите отношение количеств теплоты $Q_1$ и $Q_2$, которые необходимо сообщить газу в этих процессах (рис. 287).

Ответ. $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{13}{11}$.

Рис. 287

Решение.

Дано:

Количество вещества идеального одноатомного газа $v = 1$ моль.
Начальное состояние 1: параметры $p_0, V_0$.
Конечное состояние 3: параметры $2p_0, 2V_0$.
Процесс а) (путь 1-2-3):
1-2: Изохорное нагревание ($V = V_0$) до давления $2p_0$.
2-3: Изобарное расширение ($p = 2p_0$) до объема $2V_0$.
Процесс б) (путь 1-4-3):
1-4: Изобарное расширение ($p = p_0$) до объема $2V_0$.
4-3: Изохорное нагревание ($V = 2V_0$) до давления $2p_0$.

Найти:

Отношение количеств теплоты $\frac{Q_1}{Q_2}$.

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $\text{A}$: $Q = \Delta U + A$.
Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как $\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, можно выразить изменение внутренней энергии через давление и объем: $\Delta U = \frac{3}{2} \Delta(pV) = \frac{3}{2} (p_fV_f - p_iV_i)$, где индексы $\text{i}$ и $\text{f}$ обозначают начальное и конечное состояния.
Работа газа $\text{A}$ при изохорном процессе ($V = const$) равна нулю. При изобарном процессе ($p = const$) работа равна $A = p \Delta V$.

а)

Найдем количество теплоты $Q_1$, сообщенное газу в процессе а), состоящем из двух этапов: 1-2 и 2-3.
$Q_1 = Q_{12} + Q_{23}$.
Этап 1-2 (изохорный, $V_1=V_2=V_0$, $p_1=p_0$, $p_2=2p_0$):
Работа $A_{12} = 0$.
Изменение внутренней энергии $\Delta U_{12} = \frac{3}{2} (p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2} (2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2} p_0V_0$.
Теплота $Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2} p_0V_0$.
Этап 2-3 (изобарный, $p_2=p_3=2p_0$, $V_2=V_0$, $V_3=2V_0$):
Работа $A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 2p_0(2V_0 - V_0) = 2p_0V_0$.
Изменение внутренней энергии $\Delta U_{23} = \frac{3}{2} (p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2} (2p_0 \cdot 2V_0 - 2p_0V_0) = \frac{3}{2} (2p_0V_0) = 3p_0V_0$.
Теплота $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 3p_0V_0 + 2p_0V_0 = 5p_0V_0$.
Общее количество теплоты для процесса а):
$Q_1 = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2} p_0V_0 + 5p_0V_0 = \frac{3+10}{2} p_0V_0 = \frac{13}{2} p_0V_0$.
Ответ: $Q_1 = \frac{13}{2} p_0V_0$.

б)

Найдем количество теплоты $Q_2$, сообщенное газу в процессе б), состоящем из двух этапов: 1-4 и 4-3.
$Q_2 = Q_{14} + Q_{43}$.
Этап 1-4 (изобарный, $p_1=p_4=p_0$, $V_1=V_0$, $V_4=2V_0$):
Работа $A_{14} = p_1(V_4 - V_1) = p_0(2V_0 - V_0) = p_0V_0$.
Изменение внутренней энергии $\Delta U_{14} = \frac{3}{2} (p_4V_4 - p_1V_1) = \frac{3}{2} (p_0 \cdot 2V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2} p_0V_0$.
Теплота $Q_{14} = \Delta U_{14} + A_{14} = \frac{3}{2} p_0V_0 + p_0V_0 = \frac{5}{2} p_0V_0$.
Этап 4-3 (изохорный, $V_4=V_3=2V_0$, $p_4=p_0$, $p_3=2p_0$):
Работа $A_{43} = 0$.
Изменение внутренней энергии $\Delta U_{43} = \frac{3}{2} (p_3V_3 - p_4V_4) = \frac{3}{2} (2p_0 \cdot 2V_0 - p_0 \cdot 2V_0) = \frac{3}{2} (2p_0V_0) = 3p_0V_0$.
Теплота $Q_{43} = \Delta U_{43} + A_{43} = 3p_0V_0$.
Общее количество теплоты для процесса б):
$Q_2 = Q_{14} + Q_{43} = \frac{5}{2} p_0V_0 + 3p_0V_0 = \frac{5+6}{2} p_0V_0 = \frac{11}{2} p_0V_0$.
Ответ: $Q_2 = \frac{11}{2} p_0V_0$.

Найдем искомое отношение количеств теплоты:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\frac{13}{2} p_0V_0}{\frac{11}{2} p_0V_0} = \frac{13}{11}$.

Ответ: Отношение количеств теплоты равно $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{13}{11}$.