Номер 9.2, страница 54 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

9.2. Считая орбиты планет круговыми, определите зависимость периода обращения планеты вокруг Солнца от радиуса её орбиты. Как изменилась бы эта зависимость, если бы сила тяготения была обратно пропорциональна не квадрату расстояния между планетой и Солнцем, а кубу расстояния?

Определите зависимость периода обращения планеты вокруг Солнца от радиуса её орбиты.

Дано:

m – масса планеты
M – масса Солнца
R – радиус круговой орбиты
G – гравитационная постоянная

Найти:

Зависимость периода обращения T от радиуса орбиты R, то есть T(R).

Решение:

Считая орбиту планеты круговой, мы можем утверждать, что движение планеты происходит под действием единственной силы — силы всемирного тяготения со стороны Солнца. Эта сила является центростремительной и сообщает планете соответствующее ускорение.
Согласно второму закону Ньютона:
$F_т = m a_ц$
где $F_т$ – сила тяготения, $\text{m}$ – масса планеты, $a_ц$ – центростремительное ускорение.
Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:
$F_т = G \frac{M m}{R^2}$
Центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса $\text{R}$ со скоростью $\text{v}$ равно:
$a_ц = \frac{v^2}{R}$
Приравняем силу тяготения и центростремительную силу ($m a_ц$):
$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$
Скорость движения планеты по орбите $\text{v}$ можно выразить через период обращения $\text{T}$. За время, равное одному периоду, планета проходит путь, равный длине окружности орбиты $2 \pi R$. Следовательно:
$v = \frac{2 \pi R}{T}$
Подставим это выражение для скорости в уравнение сил:
$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{(2 \pi R / T)^2}{R}$
Сократим массу планеты $\text{m}$ и раскроем скобки:
$G \frac{M}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R}$
Упростим правую часть:
$G \frac{M}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$
Теперь выразим из этого уравнения $T^2$:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 R \cdot R^2}{G M} = \frac{4 \pi^2}{G M} R^3$
Поскольку множитель $\frac{4 \pi^2}{G M}$ является константой для данной системы (Солнце и планеты), мы получаем, что квадрат периода обращения прямо пропорционален кубу радиуса орбиты. Это утверждение известно как третий закон Кеплера для круговых орбит.

Ответ: Квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца прямо пропорционален кубу радиуса её орбиты: $T^2 \propto R^3$.

Как изменилась бы эта зависимость, если бы сила тяготения была обратно пропорциональна не квадрату расстояния между планетой и Солнцем, а кубу расстояния?

Решение:

В этом гипотетическом случае закон тяготения изменится. Сила тяготения $F'_т$ будет обратно пропорциональна кубу расстояния $\text{R}$:
$F'_т = \frac{k}{R^3}$
где $\text{k}$ – новый коэффициент пропорциональности, который зависит от масс взаимодействующих тел (например, $k = G' M m$, где $G'$ – некоторая новая "гравитационная" постоянная).
Как и в первом случае, эта сила является центростремительной. Запишем второй закон Ньютона для этого случая:
$F'_т = m a_ц$
$\frac{k}{R^3} = m \frac{v^2}{R}$
Подставим в это уравнение выражение для скорости через период $v = \frac{2 \pi R}{T}$:
$\frac{k}{R^3} = m \frac{(2 \pi R / T)^2}{R}$
Заменим $\text{k}$ на $G' M m$ и раскроем скобки:
$\frac{G' M m}{R^3} = m \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2 R}$
Сократим массу планеты $\text{m}$ и упростим правую часть:
$\frac{G' M}{R^3} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}$
Выразим отсюда $T^2$:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 R \cdot R^3}{G' M} = \frac{4 \pi^2}{G' M} R^4$
В этом случае квадрат периода обращения оказывается прямо пропорционален четвертой степени радиуса орбиты.
$T^2 \propto R^4$
Если извлечь квадратный корень из обеих частей, получим зависимость для самого периода:
$T \propto R^2$

Ответ: Если бы сила тяготения была обратно пропорциональна кубу расстояния, то квадрат периода обращения был бы пропорционален четвертой степени радиуса орбиты ($T^2 \propto R^4$), а сам период был бы прямо пропорционален квадрату радиуса орбиты ($T \propto R^2$).