Номер 9.3, страница 54 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

9.3. Определите массу Солнца, считая, что Земля обращается вокруг него по круговой орбите радиусом $R = 1.5 \cdot 10^{11}$ м.

Дано:

Радиус круговой орбиты Земли $R = 1,5 \cdot 10^{11}$ м.

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Период обращения Земли вокруг Солнца $T = 1$ год.

Перевод в систему СИ:

$R = 1,5 \cdot 10^{11}$ м (значение уже дано в СИ).

$T = 1 \text{ год} \approx 365,25 \text{ суток} = 365,25 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} \approx 3,156 \cdot 10^7$ с.

Найти:

Массу Солнца $M_с$.

Решение:

Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения. Эта сила является центростремительной и сообщает Земле центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на Землю, равна произведению массы Земли $m_з$ на ее центростремительное ускорение $a_ц$:

$F = m_з \cdot a_ц$

С другой стороны, эта сила является силой гравитационного притяжения между Солнцем и Землей, которая описывается законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_с \cdot m_з}{R^2}$

где $M_с$ — искомая масса Солнца, $m_з$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус орбиты, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Так как гравитационная сила и является той силой, которая удерживает Землю на орбите, мы можем приравнять эти два выражения:

$m_з \cdot a_ц = G \frac{M_с \cdot m_з}{R^2}$

Массу Земли $m_з$ можно сократить в обеих частях уравнения:

$a_ц = G \frac{M_с}{R^2}$

Центростремительное ускорение при движении по окружности можно выразить через период обращения $\text{T}$ и радиус орбиты $\text{R}$. Орбитальная скорость Земли $\text{v}$ равна длине орбиты $2\pi R$, деленной на период обращения $\text{T}$:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Центростремительное ускорение связано со скоростью и радиусом следующим образом:

$a_ц = \frac{v^2}{R} = \frac{(2\pi R / T)^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для центростремительного ускорения:

$\frac{4\pi^2 R}{T^2} = G \frac{M_с}{R^2}$

Из этого уравнения выразим массу Солнца $M_с$:

$M_с \cdot G \cdot T^2 = 4\pi^2 R \cdot R^2$

$M_с = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Будем считать $\pi \approx 3,14$.

$M_с = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11} \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (3,156 \cdot 10^7 \text{ с})^2}$

$M_с = \frac{4 \cdot 9,8596 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,9603 \cdot 10^{14}} \text{ кг}$

$M_с \approx \frac{133,1 \cdot 10^{33}}{66,43 \cdot 10^3} \text{ кг} \approx \frac{1,331 \cdot 10^{35}}{6,643 \cdot 10^4} \text{ кг}$

$M_с \approx 2,00 \cdot 10^{30}$ кг.

Ответ: масса Солнца приблизительно равна $2,0 \cdot 10^{30}$ кг.