Номер 9.5, страница 54 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

9.5. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли с периодом, равным периоду обращения Луны вокруг Земли. Во время движения корабль находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, на таком расстоянии от Земли, что силы притяжения, действующие на него со стороны Земли и Луны, равны друг другу. Работают ли двигатели корабля? Если работают, то в какую сторону происходит выброс газа из двигателей? Чему равен вес космонавта массой 70 кг на корабле? Период обращения Луны вокруг Земли 27,3 сут., отношение масс Земли и Луны равно 81, расстояние от Земли до Луны составляет 60 земных радиусов, радиус Земли 6400 км.

Дано:

Период обращения Луны, $T = 27,3$ сут.
Масса космонавта, $m_a = 70$ кг
Отношение масс Земли и Луны, $M_З / M_Л = 81$
Расстояние Земля-Луна, $R_{З-Л} = 60 R_З$
Радиус Земли, $R_З = 6400$ км

Перевод в СИ:
$T = 27,3 \text{ сут} = 27,3 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ c} = 2358720 \text{ c}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_{З-Л} = 60 \cdot R_З = 60 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ м}$
$m_a = 70 \text{ кг}$

Найти:

Работают ли двигатели?
Направление выброса газа?
Вес космонавта, $\text{P}$ — ?

Решение:

Работают ли двигатели корабля? Если работают, то в какую сторону происходит выброс газа из двигателей?

По условию, космический корабль находится в точке, где силы гравитационного притяжения к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) равны по модулю. Поскольку масса Земли значительно больше массы Луны, эта точка должна находиться между Землей и Луной, но ближе к Луне. Силы $F_З$ и $F_Л$ направлены в противоположные стороны (к центрам Земли и Луны соответственно). Следовательно, результирующая гравитационная сила, действующая на корабль, равна нулю: $F_{грав} = F_З - F_Л = 0$.

Однако корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. Для такого движения необходима центростремительная сила, направленная к центру орбиты (к центру Земли). Эта сила, согласно второму закону Ньютона, равна $F_ц = m_к a_ц$, где $m_к$ — масса корабля, а $a_ц$ — его центростремительное ускорение.

Поскольку суммарная гравитационная сила равна нулю, она не может обеспечить центростремительное ускорение. Это означает, что должна существовать другая сила, создаваемая двигателями корабля — сила тяги ($F_{тяги}$). Именно эта сила и является центростремительной силой:
$F_{тяги} = F_ц = m_к a_ц$.

Таким образом, двигатели корабля должны работать. Сила тяги направлена к центру вращения, то есть к Земле. Согласно третьему закону Ньютона, сила, действующая на выбрасываемые газы, направлена в сторону, противоположную силе тяги. Следовательно, выброс газа происходит в направлении от Земли (в сторону Луны).

Ответ: Двигатели корабля работают. Выброс газа происходит в направлении от Земли.

Чему равен вес космонавта массой 70 кг на корабле?

Вес тела ($\text{P}$) — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. В данном случае это сила, с которой космонавт давит на пол корабля. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе нормальной реакции опоры ($\text{N}$), действующей на космонавта. $P = N$.

Рассмотрим силы, действующие на космонавта в системе отсчета, связанной с кораблем. Эта система неинерциальна, так как движется с центростремительным ускорением $a_ц$. В этой системе на космонавта действуют:
1. Сила притяжения Земли $F_{З,а}$.
2. Сила притяжения Луны $F_{Л,а}$.
3. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$.
4. Центробежная сила инерции $F_{цб}$, направленная от центра вращения (от Земли) и равная по модулю $m_a a_ц$.

Так как космонавт покоится относительно корабля, сумма всех сил равна нулю. В проекции на прямую, соединяющую Землю и Луну (положительное направление — к Земле):
$F_{З,а} - F_{Л,а} - N - F_{цб} = 0$.

Космонавт находится в той же точке, что и корабль, поэтому для него, как и для корабля, силы гравитационного притяжения Земли и Луны равны по модулю: $F_{З,а} = F_{Л,а}$. Тогда $F_{З,а} - F_{Л,а} = 0$.

Уравнение принимает вид: $- N - F_{цб} = 0$, или $N = -F_{цб}$. Это означает, что сила реакции опоры направлена в противоположную сторону центробежной силе (т.е. к Земле), а ее модуль равен $N = F_{цб}$.

Таким образом, вес космонавта равен по модулю центробежной силе:
$P = N = F_{цб} = m_a a_ц$.

Центростремительное ускорение $a_ц$ равно $a_ц = \omega^2 r_к$, где $\omega$ — угловая скорость, а $r_к$ — радиус орбиты корабля. Угловая скорость одинакова для корабля и Луны, так как их периоды обращения равны: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Найдем радиус орбиты корабля $r_к$ из условия равенства гравитационных сил:
$G\frac{M_З m_к}{r_к^2} = G\frac{M_Л m_к}{(R_{З-Л} - r_к)^2}$
$\frac{M_З}{M_Л} = \left(\frac{r_к}{R_{З-Л} - r_к}\right)^2$
$81 = \left(\frac{r_к}{R_{З-Л} - r_к}\right)^2 \implies 9 = \frac{r_к}{R_{З-Л} - r_к}$
$9(R_{З-Л} - r_к) = r_к \implies 9 R_{З-Л} = 10 r_к \implies r_к = 0,9 R_{З-Л}$

Подставим числовые значения:
$r_к = 0,9 \cdot 3,84 \cdot 10^8 \text{ м} = 3,456 \cdot 10^8 \text{ м}$.

Вычислим угловую скорость:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2358720 \text{ с}} \approx 2,664 \cdot 10^{-6} \text{ с}^{-1}$.

Найдем центростремительное ускорение:
$a_ц = \omega^2 r_к \approx (2,664 \cdot 10^{-6})^2 \cdot 3,456 \cdot 10^8 \approx 7,097 \cdot 10^{-12} \cdot 3,456 \cdot 10^8 \approx 0,00245 \text{ м/с}^2$.

Теперь можем найти вес космонавта:
$P = m_a a_ц = 70 \text{ кг} \cdot 0,00245 \text{ м/с}^2 \approx 0,1715 \text{ Н}$.

Ответ: Вес космонавта на корабле равен примерно 0,17 Н.