Номер 1, страница 53 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Чему должен быть равен радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, чтобы спутник всё время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе?

Решение. Для того чтобы спутник, двигаясь по круговой орбите, находился всё время над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе, необходимо, чтобы период обращения спутника вокруг Земли $T_c$ был равен периоду обращения Земли вокруг своей оси $T_3$.

Центростремительное ускорение спутника, создаваемое силой гравитационного притяжения его к Земле, равно $a_{цс} = \frac{F_{тяг}}{m}$.

Выразим это ускорение через скорость спутника и радиус его орбиты, а силу $F_{тяг}$ с помощью закона всемирного тяготения:

$a_{цс} = \frac{v^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T_c^2} \cdot \frac{1}{R} = \frac{4\pi^2 R}{T_c^2}$, $F_{тяг} = G \frac{mM}{R^2}$,

где $\text{R}$ — радиус орбиты; $\text{M}$ — масса Земли. Далее получим $\frac{4\pi^2 R}{T_c^2} = G \frac{M}{R^2}$.

Отсюда $R = \sqrt[3]{\frac{GMT_c^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{GMT_3^2}{4\pi^2}}$.

Расчёты дают следующий результат:

$R = \sqrt[3]{\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \cdot (86400)^2}{4\pi^2}} \text{ (м)} = 4{,}2 \cdot 10^7 \text{ м}$.

Для того чтобы искусственный спутник Земли всё время находился над одной и той же точкой земной поверхности на экваторе (такая орбита называется геостационарной), необходимо, чтобы его угловая скорость вращения вокруг Земли была равна угловой скорости вращения самой Земли. Это означает, что период обращения спутника вокруг Земли $T_с$ должен быть равен периоду вращения Земли вокруг своей оси $T_З$.

Движение спутника по круговой орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая сообщает ему необходимое центростремительное ускорение.

Дано:

Период обращения спутника $T_с$ равен периоду вращения Земли $T_З$.

$T_с = T_З = 24 \text{ часа}$

Масса Земли, $M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Гравитационная постоянная, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$T_с = 24 \text{ часа} = 24 \cdot 60 \cdot 60 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Радиус круговой орбиты $\text{R}$.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на спутник, равна произведению его массы $\text{m}$ на центростремительное ускорение $a_{цс}$:

$F = m \cdot a_{цс}$

Единственной силой, действующей на спутник, является сила гравитационного притяжения к Земле. По закону всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{mM}{R^2}$

где $\text{m}$ — масса спутника, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{R}$ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты).

Приравняем эти два выражения для силы:

$G \frac{mM}{R^2} = m \cdot a_{цс}$

Сократив массу спутника $\text{m}$, получим:

$G \frac{M}{R^2} = a_{цс}$

Центростремительное ускорение можно выразить через период обращения $T_с$ и радиус орбиты $\text{R}$. Скорость спутника на орбите $v = \frac{2\pi R}{T_с}$, а центростремительное ускорение $a_{цс} = \frac{v^2}{R}$. Подставив выражение для скорости, получим:

$a_{цс} = \frac{(\frac{2\pi R}{T_с})^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T_с^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T_с^2}$

Теперь подставим это выражение для $a_{цс}$ в уравнение сил:

$G \frac{M}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T_с^2}$

Нам необходимо найти радиус орбиты $\text{R}$. Выразим $\text{R}$ из этого уравнения. Для этого сгруппируем все члены с $\text{R}$ в одной части уравнения:

$G M T_с^2 = 4\pi^2 R^3$

Отсюда находим $R^3$:

$R^3 = \frac{G M T_с^2}{4\pi^2}$

И, наконец, извлекаем кубический корень, чтобы найти $\text{R}$:

$R = \sqrt[3]{\frac{G M T_с^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг} \cdot (86400 \text{ с})^2}{4\pi^2}}$

$R = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 6 \cdot 10^{13} \cdot 7464960000}{4 \cdot (3,1416)^2}} \text{ м}$

$R = \sqrt[3]{\frac{40,02 \cdot 10^{13} \cdot 7,465 \cdot 10^9}{39,478}} \text{ м}$

$R = \sqrt[3]{\frac{298,75 \cdot 10^{22}}{39,478}} \text{ м}$

$R = \sqrt[3]{7,567 \cdot 10^{22}} \text{ м} = \sqrt[3]{75,67 \cdot 10^{21}} \text{ м}$

$R \approx 4,23 \cdot 10^7 \text{ м}$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии:

$R \approx 4,2 \cdot 10^7 \text{ м} = 42000 \text{ км}$

Это радиус орбиты, отсчитываемый от центра Земли.

Ответ: радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли должен быть равен $R = 4,2 \cdot 10^7$ м.