Номер 8.3, страница 46 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

8.3. На наклонной плоскости лежит брусок. Начертите график зависимости ускорения бруска от угла наклона плоскости к горизонту для $ \mu = 0.6 $.

Дано:

Коэффициент трения скольжения, $ \mu = 0,6 $.

Найти:

График зависимости ускорения бруска $\text{a}$ от угла наклона плоскости $ \alpha $.

Решение:

Рассмотрим брусок массой $\text{m}$ на наклонной плоскости с углом наклона $ \alpha $ к горизонту. На брусок действуют три силы: сила тяжести $ m\vec{g} $, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, направленная вдоль плоскости против возможного движения.

Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY – перпендикулярно плоскости вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OY: $ N - mg \cos(\alpha) = 0 $.

Отсюда находим, что сила нормальной реакции опоры равна: $ N = mg \cos(\alpha) $.

Проекция на ось OX: $ mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma $.

Далее рассмотрим два возможных режима поведения бруска.

1. Брусок покоится ($a=0$).

Брусок будет оставаться в состоянии покоя до тех пор, пока скатывающая сила (проекция силы тяжести на ось OX) не превысит максимальную силу трения покоя. В состоянии покоя сила трения уравновешивает скатывающую силу: $ F_{тр} = mg \sin(\alpha) $.

Максимальная сила трения покоя определяется как $ F_{тр, макс} = \mu N $, где $ \mu $ — коэффициент трения. В условии задачи дан один коэффициент, поэтому мы принимаем, что коэффициент трения покоя равен коэффициенту трения скольжения.

$ F_{тр, макс} = \mu mg \cos(\alpha) $.

Условие, при котором брусок остается в покое, имеет вид: $ mg \sin(\alpha) \le \mu mg \cos(\alpha) $.

Разделив обе части на $ mg \cos(\alpha) $ (поскольку для $ 0 \le \alpha < 90^\circ $ эти величины положительны), получаем:

$ \tan(\alpha) \le \mu $.

Брусок начнет движение при критическом угле $ \alpha_0 $, для которого $ \tan(\alpha_0) = \mu $.

Используя данное значение $ \mu = 0,6 $, найдем этот угол:

$ \tan(\alpha_0) = 0,6 \implies \alpha_0 = \arctan(0,6) \approx 30,96^\circ $.

Таким образом, для всех углов $ 0 \le \alpha \le \alpha_0 $, брусок будет неподвижен, и его ускорение $ a = 0 $.

2. Брусок скользит ($a>0$).

Если угол наклона $ \alpha > \alpha_0 $, скатывающая сила становится больше максимальной силы трения покоя, и брусок начинает соскальзывать с ускорением. В этом случае на него действует сила трения скольжения, равная $ F_{тр.ск} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha) $.

Подставим это выражение в уравнение движения по оси OX:

$ ma = mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) $.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения:

$ a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) $.

Для $ \mu = 0,6 $ формула принимает вид:

$ a = g(\sin(\alpha) - 0,6 \cos(\alpha)) $.

Проверим значения ускорения на границах интервала. При $ \alpha = \alpha_0 $, $ \tan(\alpha_0) = 0,6 $, следовательно $ \sin(\alpha_0) = 0,6 \cos(\alpha_0) $. Тогда $ a = g(0,6 \cos(\alpha_0) - 0,6 \cos(\alpha_0)) = 0 $. Функция ускорения непрерывна.

При $ \alpha = 90^\circ $ (вертикальная плоскость), $ a = g(\sin(90^\circ) - 0,6 \cos(90^\circ)) = g(1 - 0) = g $. Это логично, так как при $ \alpha = 90^\circ $ нормальная сила и, следовательно, сила трения равны нулю, и брусок находится в свободном падении.

Построение графика.

Таким образом, зависимость ускорения $\text{a}$ от угла $ \alpha $ является кусочной функцией:

$ a(\alpha) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le \alpha \le \arctan(0,6) \\ g(\sin(\alpha) - 0,6\cos(\alpha)), & \text{если } \arctan(0,6) < \alpha \le 90^\circ \end{cases} $

График этой зависимости состоит из двух частей:

1. На интервале углов $ [0^\circ, \approx 31^\circ] $ график представляет собой отрезок, лежащий на горизонтальной оси ($a=0$).

2. При $ \alpha > 31^\circ $ график представляет собой плавно возрастающую кривую, начинающуюся в точке $ (\approx 31^\circ; 0) $ и достигающую значения $\text{g}$ при $ \alpha = 90^\circ $.

Ниже представлен эскиз графика, где по оси абсцисс отложен угол $ \alpha $ в градусах, а по оси ординат — ускорение $\text{a}$.

Ответ:

Зависимость ускорения бруска $\text{a}$ от угла наклона плоскости $ \alpha $ описывается функцией:

$ a(\alpha) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \le \alpha \le \arctan(0,6) \\ g(\sin(\alpha) - 0,6\cos(\alpha)), & \text{если } \arctan(0,6) < \alpha \le 90^\circ \end{cases} $

где $ \arctan(0,6) \approx 31^\circ $. График этой зависимости представлен выше. Он состоит из горизонтального участка на оси абсцисс от $ \alpha=0 $ до $ \alpha \approx 31^\circ $, после чего переходит в плавно возрастающую кривую, которая достигает значения $ a=g $ при $ \alpha = 90^\circ $.