Номер 8.2, страница 46 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

8.2. Брусок массой 0,3 кг лежит на наклонной плоскости, угол при основании которой составляет $\alpha = 30^\circ$. Коэффициент трения бруска о плоскость равен 0,2. К бруску привязана нить, другой конец которой перекинут через неподвижный блок. К этому концу нити прикреплён груз массой 0,2 кг. Определите ускорение тел и силу упругости нити.

Дано:

Масса бруска $m_1 = 0,3$ кг
Масса груза $m_2 = 0,2$ кг
Угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$
Коэффициент трения $\mu = 0,2$

Все данные приведены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Ускорение тел $\text{a}$ - ?
Сила упругости нити $\text{T}$ - ?

Решение:

Запишем силы, действующие на каждое тело. На брусок $m_1$ на наклонной плоскости действуют: сила тяжести $m_1g$, сила реакции опоры $\text{N}$, сила натяжения нити $\text{T}$ и сила трения $F_{тр}$. На подвешенный груз $m_2$ действуют: сила тяжести $m_2g$ и сила натяжения нити $\text{T}$. Нить и блок считаем идеальными (невесомыми и нерастяжимыми), поэтому ускорения тел по модулю равны ($\text{a}$), а сила натяжения нити $\text{T}$ одинакова по всей длине.

Прежде чем применять второй закон Ньютона, необходимо определить возможное направление движения системы, чтобы правильно указать направление силы трения. Сравним силу, создаваемую грузом $m_2$, которая стремится сдвинуть брусок $m_1$ вверх по наклонной плоскости, и проекцию силы тяжести бруска $m_1$ на эту плоскость, которая тянет его вниз.

Сила, тянущая систему со стороны груза: $F_{тяг} = m_2g = 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$.

Проекция силы тяжести бруска на наклонную плоскость (скатывающая сила): $F_{g1x} = m_1g \sin\alpha = 0,3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \sin30^\circ = 3 \text{ Н} \cdot 0,5 = 1,5 \text{ Н}$.

Поскольку $F_{тяг} > F_{g1x}$ ($2 \text{ Н} > 1,5 \text{ Н}$), то если бы трение отсутствовало, система бы двигалась так, что груз $m_2$ опускался, а брусок $m_1$ поднимался по наклонной плоскости. Это означает, что если движение возможно, то сила трения будет направлена против этого движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Теперь проверим, достаточно ли силы тяги для преодоления силы трения покоя. Для этого найдем максимальную силу трения покоя, $F_{тр.макс}$. Она равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции опоры $\text{N}$.

Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести бруска: $N = m_1g \cos\alpha = 0,3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot \cos30^\circ = 3 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3 \text{ Н} \cdot 0,866 = 2,598 \text{ Н}$.

Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.макс} = \mu N = 0,2 \cdot 2,598 \text{ Н} \approx 0,52 \text{ Н}$.

Движущая сила, стремящаяся сдвинуть брусок вверх, равна разности силы тяги и скатывающей силы: $F_{движ} = F_{тяг} - F_{g1x} = 2 \text{ Н} - 1,5 \text{ Н} = 0,5 \text{ Н}$.

Сравним движущую силу с максимальной силой трения покоя. $F_{движ} = 0,5 \text{ Н}$, а $F_{тр.макс} \approx 0,52 \text{ Н}$.

Так как движущая сила меньше максимальной силы трения покоя ($0,5 \text{ Н} < 0,52 \text{ Н}$), система не придет в движение и будет находиться в состоянии покоя. Следовательно, ускорение тел равно нулю.

$a = 0 \text{ м/с}^2$.

Поскольку система находится в равновесии, то и каждое тело находится в равновесии. Рассмотрим равновесие груза $m_2$. На него действуют сила тяжести $m_2g$ вниз и сила натяжения нити $\text{T}$ вверх. Из условия равновесия ($\text{2}$-й закон Ньютона при $a=0$): $T - m_2g = 0$. Отсюда находим силу упругости нити:

$T = m_2g = 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$.

Для проверки можно рассмотреть равновесие бруска $m_1$. Вдоль наклонной плоскости на него действуют: сила натяжения нити $\text{T}$ (вверх), скатывающая сила $m_1g \sin\alpha$ (вниз) и сила трения покоя $F_{тр.пок}$ (вниз). Условие равновесия: $T - m_1g \sin\alpha - F_{тр.пок} = 0$. Отсюда $F_{тр.пок} = T - m_1g \sin\alpha = 2 \text{ Н} - 1,5 \text{ Н} = 0,5 \text{ Н}$. Полученная сила трения покоя $0,5 \text{ Н}$ меньше максимальной $\approx 0,52 \text{ Н}$, что подтверждает наш вывод о том, что система находится в покое.

Ответ: ускорение тел равно $\text{0}$, сила упругости нити равна $\text{2}$ Н.