Номер 3, страница 44 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 3. Брусок массой $m_1 = 0,30$ кг лежит на наклонной плоскости, угол при основании которой равен $30^\circ$. Коэффициент трения бруска о плоскость равен $0,2$. К бруску привязана невесомая и нерастяжимая нить, другой конец которой перекинут через неподвижный блок. К этому концу нити прикреплён груз. Определите ускорения бруска при значениях массы $m_2$ груза $0,05$ кг; $0,15$ кг; $0,25$ кг. При каких значениях массы груза брусок неподвижен?

Решение. В зависимости от соотношения между значениями $m_1$, $m_2$, $\alpha$ и $\mu$ брусок может двигаться с ускорением вверх или вниз по наклонной плоскости или находиться в покое. При этом изменяется не только направление, но и модуль силы трения, так как сила трения может принимать различные значения. Рассмотрим два предельных случая, когда брусок движется ускоренно вверх и ускоренно вниз по наклонной плоскости. На рисунках 1.21 и 1.22 изображены силы, действующие на брусок и груз: $F_1$ и $F_2$ — силы натяжения нити при ускоренном движении грузов соответственно вверх или вниз по наклонной плоскости; $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры; $m_1g$ и $m_2g$ — силы тяжести, действующие на брусок и груз; $F_{тр}$ — сила трения скольжения.

Рис. 1.21

Рис. 1.22

Сила трения скольжения в каждом случае направлена в сторону, противоположную движению бруска. Так как нить нерастяжима, то модули ускорений, с которыми движутся брусок и груз, одинаковы. Вследствие невесомости нити сила натяжения по всей её длине одинакова.

1. Запишем второй закон Ньютона для проекций сил и ускорений на ось, направление которой совпадает с направлением ускорения, для случая, изображённого на рисунке 1.21:

$F_1 - m_1 g \sin \alpha - F_{тр} = m_1 a_1,$ (1)

$m_2 g - F_1 = m_2 a_1.$ (2)

Учитывая, что сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$, где $N = m_1 g \cos \alpha$, получим

$F_{тр} = \mu m_1 g \cos \alpha.$ (3)

Складывая уравнения (1) и (2) и заменяя значение силы трения выражением (3), получаем

$m_2 g - m_1 g \sin \alpha - \mu m_1 g \cos \alpha = (m_1 + m_2) a_1.$ (4)

Это выражение можно использовать для расчёта ускорения бруска только при условии, что $a_1 \ge 0$.

Определим минимальную массу груза $m_2'$, при которой брусок ещё движется вверх по наклонной плоскости без ускорения ($a_1 = 0$):

$m_2' g - m_1 g \sin \alpha - \mu m_1 g \cos \alpha = 0, \quad m_2' = m_1 (\sin \alpha + \mu \cos \alpha).$

Следовательно, при выполнении условия $m_2 \ge m_1 (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$ можно определить искомое ускорение бруска из уравнения (4):

$a_1 = g \frac{m_2 - m_1 \sin \alpha - \mu m_1 \cos \alpha}{m_1 + m_2}$ (5)

Рассчитаем числовое значение величины $m_2'$: $m_2' = 0,30$ кг $(\sin 30^\circ + + 0,20 \cos 30^\circ) = 0,20$ кг. Сравнивая полученное значение с данными, представленными в условии, делаем вывод, что рассчитать ускорение бруска по формуле (5) можно лишь при значении $m_2 \ge 0,20$ кг. Пусть $m_2 = 0,25$ кг:

$a_1 = 9,81 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,25 - 0,30 \cdot 0,5 - 0,20 \cdot 0,30 \cdot \sqrt{3}/2}{0,30 + 0,25} = 0,86 \text{ м/с}^2.$

2. Запишем второй закон Ньютона для проекций сил и ускорений на ось, направление которой совпадает с направлением ускорения, для случая, изображённого на рисунке 1.22:

$m_1 g \sin \alpha - F_2 - F_{тр} = m_1 a_2,$ $\quad F_2 - m_2 g = m_2 a_2.$

Учитывая, что сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu m_1 g \cos \alpha$, получим, сложив оба уравнения:

$m_1 g \sin \alpha - m_2 g - \mu m_1 g \cos \alpha = (m_1 + m_2) a_2.$ (6)

Полученное выражение можно использовать для расчёта ускорения бруска только при условии, что $a_2 \ge 0$.

Определим максимальную массу груза $m_2''$, при которой брусок ещё движется вниз по наклонной плоскости без ускорения ($a_2 = 0$):

$m_1 g \sin \alpha - m_2'' g - \mu m_1 g \cos \alpha = 0,$ $\quad m_2'' = m_1 (\sin \alpha - \mu \cos \alpha).$

Следовательно, при выполнении условия $m_2 \le m_1 (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$ можно определить ускорение бруска из уравнения (6):

$a_2 = g \frac{m_1 \sin \alpha - m_2 - \mu m_1 \cos \alpha}{m_1 + m_2}$ (7)

Рассчитаем числовое значение величины $m_2''$:

$m_2'' = 0,30 \text{ кг} (\sin 30^\circ - 0,20 \cos 30^\circ) = 0,10 \text{ кг}.$

Сравнивая полученное значение с данными, представленными в условии, делаем вывод, что рассчитать ускорение бруска по формуле (7) можно лишь при значении $m_2 = 0,05$ кг, так как $m_2 < m_2''$:

$a_2 = 9,81 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,30 \cdot 0,50 - 0,05 - 0,20 \cdot 0,30 \cdot \sqrt{3}/2}{0,05 + 0,30} = 1,4 \text{ м/с}^2.$

3. При выполнении условия

$m_1 (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) > m_2 > m_1 (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$ брусок не будет двигаться ни вниз, ни вверх по наклонной плоскости, т. е. будет находиться в покое.

Для конкретных чисел, заданных в условии, будем иметь

$0,20 \text{ кг} > m_2 > 0,10 \text{ кг}.$

Следовательно, при $m_2 = 0,15$ кг брусок будет находиться в покое. В чём же причина того, что система покоится не при одном значении массы груза $m_2$, а в интервале значений примерно от 0,2 до 0,1 кг? Оказывается, причина состоит в особенности силы трения покоя, заключающейся в том, что она может изменяться при изменении внешней силы, действующей на тело.

Дано:

$m_1 = 0,30 \text{ кг}$
$\alpha = 30^\circ$
$\mu = 0,2$
$m_2 \in \{0,05 \text{ кг}; 0,15 \text{ кг}; 0,25 \text{ кг}\}$
$g \approx 9,81 \text{ м/с²}$

Найти:

$\text{a}$ - ускорение бруска для каждого значения $m_2$.
Диапазон масс $m_2$, при которых брусок неподвижен.

Решение:

В зависимости от соотношения масс $m_1$ и $m_2$, угла $\alpha$ и коэффициента трения $\mu$, система тел может находиться в одном из трех состояний: брусок $m_1$ движется вверх по наклонной плоскости, брусок $m_1$ движется вниз по наклонной плоскости, или система находится в покое. Сила трения скольжения всегда направлена против движения, а сила трения покоя может изменять свою величину и направление, чтобы уравновесить внешние силы.

Рассмотрим два предельных случая, определяющих границы состояний движения.

1. Движение бруска вверх по наклонной плоскости.

Это движение возможно, если сила натяжения нити, создаваемая грузом $m_2$, достаточно велика, чтобы преодолеть составляющую силы тяжести бруска $m_1$ и силу трения скольжения. Сила трения $F_{\text{тр}}$ направлена вниз по плоскости. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные вдоль движения тел:

Для бруска $m_1$: $F_1 - m_1g\sin\alpha - F_{\text{тр}} = m_1a_1$

Для груза $m_2$: $m_2g - F_1 = m_2a_1$

Сила трения скольжения равна $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m_1g\cos\alpha$. Сложив два уравнения, чтобы исключить силу натяжения $F_1$, получим:

$m_2g - m_1g\sin\alpha - \mu m_1g\cos\alpha = (m_1 + m_2)a_1$

Отсюда ускорение $a_1$ равно:

$a_1 = g \frac{m_2 - m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{m_1 + m_2}$

Это выражение справедливо только при $a_1 \ge 0$. Движение вверх начнется, если масса $m_2$ будет превышать минимальное значение $m'_2$, при котором система еще находится в равновесии:

$m'_2 = m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Рассчитаем числовое значение $m'_2$:

$m'_2 = 0,30 \cdot (\sin30^\circ + 0,20 \cdot \cos30^\circ) = 0,30 \cdot (0,5 + 0,20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 0,20 \text{ кг}$

Следовательно, движение вверх с ускорением будет происходить при $m_2 > 0,20 \text{ кг}$. Из заданных значений этому условию удовлетворяет $m_2 = 0,25 \text{ кг}$. Рассчитаем ускорение для этого случая:

$a_1 = 9,81 \cdot \frac{0,25 - 0,30 \cdot \sin30^\circ - 0,20 \cdot 0,30 \cdot \cos30^\circ}{0,30 + 0,25} = 9,81 \cdot \frac{0,25 - 0,15 - 0,052}{0,55} \approx 0,86 \text{ м/с²}$

Ответ: При $m_2=0,25$ кг ускорение бруска равно примерно $0,86 \text{ м/с²}$ и направлено вверх по наклонной плоскости.

2. Движение бруска вниз по наклонной плоскости.

Это движение происходит, если скатывающая сила бруска $m_1$ превышает сумму силы натяжения нити от груза $m_2$ и силы трения. В этом случае сила трения $F_{\text{тр}}$ направлена вверх по плоскости. Запишем второй закон Ньютона:

Для бруска $m_1$: $m_1g\sin\alpha - F_2 - F_{\text{тр}} = m_1a_2$

Для груза $m_2$: $F_2 - m_2g = m_2a_2$

Сложив уравнения, получим:

$m_1g\sin\alpha - m_2g - \mu m_1g\cos\alpha = (m_1 + m_2)a_2$

Отсюда ускорение $a_2$ равно:

$a_2 = g \frac{m_1(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) - m_2}{m_1 + m_2}$

Это выражение справедливо при $a_2 \ge 0$. Движение вниз начнется, если масса $m_2$ будет меньше максимального значения $m''_2$, при котором система еще может находиться в равновесии:

$m''_2 = m_1(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Рассчитаем числовое значение $m''_2$:

$m''_2 = 0,30 \cdot (\sin30^\circ - 0,20 \cdot \cos30^\circ) = 0,30 \cdot (0,5 - 0,20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 0,10 \text{ кг}$

Следовательно, движение вниз с ускорением будет происходить при $m_2 < 0,10 \text{ кг}$. Из заданных значений этому условию удовлетворяет $m_2 = 0,05 \text{ кг}$. Рассчитаем ускорение для этого случая:

$a_2 = 9,81 \cdot \frac{0,30 \cdot \sin30^\circ - 0,05 - 0,20 \cdot 0,30 \cdot \cos30^\circ}{0,30 + 0,05} = 9,81 \cdot \frac{0,15 - 0,05 - 0,052}{0,35} \approx 1,4 \text{ м/с²}$

Ответ: При $m_2=0,05$ кг ускорение бруска равно примерно $1,4 \text{ м/с²}$ и направлено вниз по наклонной плоскости.

3. Условие неподвижности бруска (состояние покоя).

Брусок будет оставаться в покое, если масса груза $m_2$ находится в интервале между найденными предельными значениями $m''_2$ и $m'_2$:

$m_1(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \le m_2 \le m_1(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

Подставив числовые значения, получаем диапазон для состояния покоя:

$0,10 \text{ кг} \le m_2 \le 0,20 \text{ кг}$

Из заданных в условии значений масс, в этот диапазон попадает $m_2 = 0,15 \text{ кг}$. При этой массе сила трения является силой трения покоя, и ее величина достаточна, чтобы уравновесить разность скатывающей силы и силы натяжения нити, поэтому система не движется.

Ответ: При $m_2=0,15$ кг брусок неподвижен, его ускорение равно $\text{0}$. Брусок остается неподвижным при значениях массы груза $m_2$ в диапазоне от $0,10$ кг до $0,20$ кг включительно.