Номер 1, страница 42 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Два тела массами $m_1$ и $m_2$, связанные нерастяжимой верёвкой, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Масса верёвки $m_0$. На второе тело действует в горизонтальном направлении сила $\text{F}$. Определите силы, с которыми верёвка действует на каждое тело. В каком случае эти силы будут равны по модулю? Трением можно пренебречь.

Решение. Изобразим силы, действующие на каждое тело и верёвку (рис. 1.17): $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ — силы, с которыми верёвка действует на тела 1 и 2; $\vec{F_1}'$ и $\vec{F_2}'$ — силы, с которыми тела действуют на верёвку.

Сила тяжести, действующая на каждое тело, скомпенсирована силами нормальной реакции опоры.

Рис. 1.17

Так как верёвка нерастяжима, то модули ускорений обоих тел и верёвки одинаковы и равны $\text{a}$. Применим второй закон Ньютона для сил, действующих в горизонтальном направлении (сумма сил, действующих в вертикальном направлении, равна нулю):

$F_1 = m_1 a$, (1)

$\vec{F_2}' - \vec{F_1}' = m_0 a$, (2)

$F - F_2 = m_2 a$. (3)

Применив третий закон Ньютона, получим

$\vec{F_1}' = F_1, \vec{F_2}' = F_2$, (4)

Используя выражения (1) — (4), получаем

$a = \frac{F}{m_1 + m_2 + m_0}$, $F_1 = \frac{F m_1}{m_1 + m_2 + m_0}$, $F_2 = \frac{F(m_1 + m_0)}{m_1 + m_2 + m_0}$.

Силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ равны по модулю в том случае, когда масса верёвки равна нулю (когда массой верёвки можно пренебречь по сравнению с массами тел).

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Дано:

Масса первого тела: $m_1$

Масса второго тела: $m_2$

Масса верёвки: $m_0$

Внешняя сила, действующая на второе тело: $\vec{F}$

Трение на гладкой горизонтальной поверхности отсутствует.

Верёвка нерастяжима.

Так как в задаче не приведены численные значения, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Силы $F_1$ и $F_2$, с которыми верёвка действует на каждое тело.

Условие, при котором эти силы равны по модулю.

Решение:

Рассмотрим систему из двух тел и верёвки. На второе тело действует внешняя сила $\vec{F}$, в результате чего вся система начинает двигаться с ускорением $\vec{a}$. Поскольку верёвка нерастяжима, все три объекта (тело 1, верёвка, тело 2) движутся как единое целое, то есть с одинаковым ускорением.

Изобразим силы, действующие на каждый объект в горизонтальном направлении (вдоль оси X). В вертикальном направлении силы тяжести скомпенсированы силами нормальной реакции опоры, поэтому их можно не рассматривать.

Обозначим силы, с которыми верёвка действует на тела, как $F_1$ (на тело 1) и $F_2$ (на тело 2). Силы, с которыми тела действуют на верёвку, обозначим как $F'_1$ (от тела 1) и $F'_2$ (от тела 2).

Запишем второй закон Ньютона для каждого объекта в проекции на ось X:

1. Для первого тела (массой $m_1$): на него действует только сила натяжения $F_1$.

$F_1 = m_1 a$

2. Для верёвки (массой $m_0$): на неё действуют силы $F'_1$ (направлена против оси X) и $F'_2$ (направлена по оси X).

$F'_2 - F'_1 = m_0 a$

3. Для второго тела (массой $m_2$): на него действуют внешняя сила $\text{F}$ и сила натяжения $F_2$ (направлена против оси X).

$F - F_2 = m_2 a$

Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия между телами и верёвкой равны по модулю:

$F_1 = F'_1$

$F_2 = F'_2$

Чтобы найти ускорение $\text{a}$, можно рассмотреть всю систему как единый объект массой $M = m_1 + m_2 + m_0$, на который действует единственная внешняя горизонтальная сила $\text{F}$.

$F = (m_1 + m_2 + m_0)a$

Отсюда ускорение системы равно:

$a = \frac{F}{m_1 + m_2 + m_0}$

Теперь, зная ускорение, мы можем найти искомые силы, подставив $\text{a}$ в уравнения для первого и второго тел.

Сила, с которой верёвка действует на первое тело:

$F_1 = m_1 a = m_1 \frac{F}{m_1 + m_2 + m_0} = \frac{Fm_1}{m_1 + m_2 + m_0}$

Сила, с которой верёвка действует на второе тело (из уравнения $F - F_2 = m_2 a$):

$F_2 = F - m_2 a = F - m_2 \frac{F}{m_1 + m_2 + m_0} = F \left(1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2 + m_0}\right)$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$F_2 = F \frac{m_1 + m_2 + m_0 - m_2}{m_1 + m_2 + m_0} = \frac{F(m_1 + m_0)}{m_1 + m_2 + m_0}$

Теперь ответим на вторую часть вопроса: в каком случае эти силы будут равны по модулю?

Приравняем выражения для $F_1$ и $F_2$:

$F_1 = F_2$

$\frac{Fm_1}{m_1 + m_2 + m_0} = \frac{F(m_1 + m_0)}{m_1 + m_2 + m_0}$

Поскольку $F \ne 0$ и знаменатель не равен нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{F}{m_1 + m_2 + m_0}$.

$m_1 = m_1 + m_0$

Данное равенство справедливо только в том случае, если $m_0 = 0$.

Таким образом, силы, с которыми верёвка действует на каждое тело, равны по модулю только тогда, когда масса верёвки равна нулю (или пренебрежимо мала по сравнению с массами тел).

Ответ:

Сила, с которой верёвка действует на первое тело: $F_1 = \frac{Fm_1}{m_1 + m_2 + m_0}$.

Сила, с которой верёвка действует на второе тело: $F_2 = \frac{F(m_1 + m_0)}{m_1 + m_2 + m_0}$.

Эти силы будут равны по модулю, если масса верёвки $m_0 = 0$.